Для того чтобы сравнить уравнение состояния идеального газа и основное уравнение молекулярно-кинетической теории , запишем их в наиболее совпадающем виде.
Из этих соотношений видно, что:
(1.48)
величина, которая называется постоянной Больцмана - коэффициент, позволяющий энергию движения молекул (конечно, среднюю) выражать в единицах температуры , а не только в джоулях , как до сих пор.
Как уже говорилось, «объяснить» в физике означает установить связь нового явления, в данном случае - теплового, с уже изученным - механическим движением. Это и есть объяснение тепловых явлений. Именно с целью находить такое объяснение в настоящее время разработана целая наука - статистическая физика . Слово «статистическая» означает, что объекты исследования - это явления, в которых участвует множество частиц со случайными (у каждой частицы) свойствами. Исследование таких объектов у человеческих множеств - народов, населения - предмет статистики.
Именно статистическая физика является основой химии как науки, а не как в поваренной книге - «слейте то и то, получится, что надо!» Почему получится? Ответ в свойствах (статистических свойствах) молекул.
Отметим, что, конечно, возможно использование найденных связей энергии движения молекул с температурой газа и в другом направлении для выявления свойства самого движения молекул, вообще свойств газа. Например, ясно, что внутри газа молекулы обладают энергией:
(1.50)
Эта энергия так и называется - внутренняя .Внутренняя энергия есть всегда! Даже когда тело покоится и не взаимодействует ни с какими другими телами, оно обладает внутренней энергией.
Если молекула - не «кругленький шарик», а представляет собой «гантель» (двухатомную молекулу), то кинетическая энергия представляет собой сумму энергии поступательного движения (только поступательное движение и рассматривалось фактически до сих пор) и вращательного движения (рис . 1.18 ).
Рис . 1.18. Вращение молекулы
Произвольное вращение можно представить себе как последовательное вращение сначала вокруг оси x , а затем вокруг осиz .
Запас энергии такого движения ничем не должен отличаться от запаса движения по прямой. Молекула «не знает» - летит она или крутится. Тогда во всех формулах необходимо вместо числа «три» ставить число «пять».
(1.51)
Такие газы, как азот, кислород, воздух и т. д., нужно рассматривать именно по последним формулам.
Вообще, если для строгой фиксации молекулы в пространстве нужно i чисел (говорят«i степеней свободы» ), то
(1.52)
Как говорят, «по пол kT на каждую степень свободы».
1.9. Растворенное вещество как идеальный газ
Представления об идеальном газе находят интересные приложения в объяснении осмотического давления , возникающего в растворе.
Пусть среди молекул растворителя находятся частицы какого-либо другого растворенного вещества. Как известно, частицы растворенного вещества стремятся занять весь доступный объем. Растворенное вещество расширяется совершенно так же, как расширяется газ ,чтобы занять предоставленный ему объем.
Подобно тому, как газ оказывает давление на стенки сосуда, растворенное вещество оказывает давление на ту границу, которая разделяет раствор от чистого растворителя . Такое дополнительное давление называетсяосмотическим давлением . Это давление можно наблюдать, если отделить раствор от чистого растворителяполунепроницаемой перегородкой , через которую легко проходит растворитель, но не проходит растворенное вещество (рис . 1.19 ).
Рис . 1.19. Возникновение осмотического давления в отсеке с растворенным веществом
Частицы растворенного вещества стремятся раздвинуть перегородку, и если перегородка мягкая, то она выпучивается. Если же перегородка жестко закреплена, то фактически смещается уровень жидкости, уровень раствора в отсеке с растворенным веществом повышается (см. рис . 1.19 ).
Подъем уровня раствора h будет продолжаться до тех пор, пока возникшее гидростатическое давлениеρgh (ρ- плотность раствора) не окажется равным осмотическому давлению. Имеется полное сходство между молекулами газа и молекулами растворенного вещества. И те, и другие находятся далеко друг от друга, и те, и другие движутся хаотически. Конечно, между молекулами растворенного вещества находится растворитель, а между молекулами газа ничего нет (вакуум), но это ведь не важно. Вакуум при выводе законов не использовался! Отсюда следует, чточастицы растворенного вещества в слабом растворе ведут себя так же, как молекулы идеального газа . Иначе говоря,осмотическое давление, оказываемое растворенным веществом ,равно давлению, которое производило бы это же вещество в газообразном состоянии в том же объеме и при той же температуре . Тогда получим, чтоосмотическое давление π пропорционально температуре и концентрации раствора (числу частицn в единице объема).
(1.53)
Этот закон называется законом Вант-Гоффа , формула (1.53 ) -формулой Вант-Гоффа .
Полное сходство закона Вант-Гоффа с уравнением Клапейрона–Менделеева для идеального газа очевидно.
Осмотическое давление, разумеется, не зависит от вида полупроницаемой перегородки или от рода растворителя. Любые растворы с одинаковой молярной концентрацией оказывают одинаковое осмотическое давление .
Сходство в поведении растворенного вещества и идеального газа обусловленно тем, что в разбавленном растворе частицы растворенного вещества практически не взаимодействуют между собой, как не взаимодействуют и молекулы идеального газа.
Величина осмотического давления часто довольно значительна. Например, если в литре раствора содержится 1 моль растворенного вещества, то по формуле Вант-Гоффа при комнатной температуре имеемπ ≈ 24 атм.
Если растворенное вещество при растворении разлагается на ионы (диссоциируется), то по формуле Вант-Гоффа
πV = NkT (1.54)
можно определить общее число N образовавшихся частиц - ионов обоих знаков и нейтральных (недиссоциированных) частиц. И, следовательно, можно узнать степень диссоциации вещества . Ионы могут быть сольватированы, но это обстоятельство не сказывается на справедливости формулы Вант-Гоффа.
Формулу Вант-Гоффа часто используют в химии для определения молекулярных масс белков и полимеров . Для этого к растворителю объемаV добавляютm грамм исследуемого вещества, измеряют давлениеπ. Из формулы
(1.55)
находят молекулярную массу.
Представляем формулу основного уравнения молекулярно-кинетической теории (МКТ) газов:
(где n = N V – это концентрация частиц в газе, N – это число частиц, V – это объем газа, 〈 E 〉 – это средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа, υ k v – это средняя квадратичная скорость, m 0 – это масса молекулы) связывает давление – макропараметр, достаточно просто измеряющийся с такими микропараметрами, как средняя энергия движения отдельной молекулы (или в другом выражении), как масса частицы и ее скорость. Но находя только лишь давление, нельзя установить кинетические энергии частиц отдельно от концентрации. Поэтому для нахождения в полном объеме микропараметров нужно знать еще какую-то физическую величину, связанную с кинетической энергией частиц, составляющих газ. За данную величину можно взять термодинамическую температуру.
Газовая температура
Для определения газовой температуры нужно вспомнить важное свойство, которое сообщает о том, что в условиях равновесия средняя кинетическая энергия молекул в смеси газов одинаковая для различных компонентов данной смеси. Из данного свойства следует то, что если 2 газа в различных сосудах находятся в тепловом равновесии, тогда средние кинетические энергии молекул данных газов одинаковые. Это свойство мы и будем использовать. К тому же в ходе экспериментов доказано, что для любых газов (при неограниченном числе), которые находятся в состоянии теплового равновесия, справедливо следующее выражение:
С учетом вышесказанного, используем (1) и (2) и получаем:
Из уравнения (3) следует, что величина θ , которой мы обозначили температуру, вычисляется в Д ж, в чем измеряется также и кинетическая энергия. В лабораторных работах температура в системе измерения вычисляется в кельвинах. Поэтому введем коэффициент, который уберет данное противоречие. Он обозначается k , измеряется в Д ж К и равняется 1 , 38 · 10 - 23 . Данный коэффициент называется постоянной Больцмана. Таким образом:
Определение 1
θ = k T (4) , где T – это термодинамическая температура в кельвинах .
Связь термодинамической температуры и средней кинетической энергией теплового движения молекул газа выражается формулой:
E = 3 2 k T (5) .
Из уравнения (5) видно, что средняя кинетическая энергия теплового движения молекул прямо пропорциональна температуре газа. Температура является абсолютной величиной. Физический смысл температуры заключается в том, что она, с одной стороны, определяется средней кинетической энергией, которая приходится на 1 молекулу. А с другой стороны, температура – это характеристика системы в целом. Таким образом, уравнение (5) показывает связь параметров макромира с параметрами микромира.
Определение 2
Известно, что температура – это мера средней кинетической энергии молекул.
Можно установить температуру системы, а затем рассчитать энергию молекул.
В условиях термодинамического равновесия все составляющие системы характеризуются одинаковой температурой.
Определение 3
Температура, при которой средняя кинетическая энергия молекул равняется 0 , давление идеального газа равняется 0 , называется абсолютным нулем температур . Абсолютная температура никогда не является отрицательной.
Пример 1
Необходимо найти среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы кислорода, если температура T = 290 K . А также найти среднюю квадратичную скорость капельки воды диаметра d = 10 - 7 м, взвешенной в воздухе.
Решение
Найдем среднюю кинетическую энергию движения молекулы кислорода по уравнению, связывающему энергию и температуру:
E = 3 2 k T (1 . 1) .
Поскольку все величины заданы в системе измерения, проведем вычисления:
E = 3 2 · 1 , 38 · 10 - 23 · 10 - 7 = 6 · 10 - 21 Д ж.
Перейдем ко второй части задания. Положим, что капелька, взвешенная в воздухе, – это шар (рисунок 1
). Значит, массу капельки можно рассчитать как:
m = ρ · V = ρ · π d 3 6 .
Рисунок 1
Найдем массу капельки воды. Согласно справочных материалов, плотность воды в нормальных условиях равняется ρ = 1000 к г м 3 , тогда:
m = 1000 · 3 , 14 6 10 - 7 3 = 5 , 2 · 10 - 19 (к г) .
Масса капельки чрезмерно маленькая, поэтому, сама капелька сравнима с молекулой газа, и тогда можно использовать при расчетах формулу средней квадратичной скорости капли:
E = m υ k υ 2 2 (1 . 2) ,
где 〈 E 〉 мы уже установили, а из (1 . 1) понятно, что энергия не зависит от разновидности газа, а зависит только лишь от температуры. Значит, мы можем применить полученную величину энергии. Найдем из (1 . 2) скорость:
υ k υ = 2 E m = 6 · 2 E π ρ d 3 = 3 2 k T π ρ d 3 (1 . 3) .
Рассчитаем:
υ k υ = 2 · 6 · 10 - 21 5 , 2 · 10 - 19 = 0 , 15 м с
Ответ: Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы кислорода при заданной температуре равняется 6 · 10 - 21 Д ж. Средняя квадратичная скорость капельки воды при заданных условиях равняется 0 , 15 м / с.
Пример 2
Средняя энергия поступательного движения молекул идеального газа равняется 〈 E 〉 , а давление газа p . Необходимо найти концентрацию частиц газа.
Решение
В основу решения задачи положим уравнение состояния идеального газа:
p = n k T (2 . 1) .
Прибавим к уравнению (2 . 1) уравнение связи средней энергии поступательного движения молекул и температуры системы:
E = 3 2 k T (2 . 2) .
Из (2 . 1) выражаем необходимую концентрацию:
n = p k T 2 . 3 .
Из (2 . 2) выражаем k T:
k T = 2 3 E (2 . 4) .
Подставляем (2 . 4) в (2 . 3) и получаем:
Ответ: Концентрацию частиц можно найти по формуле n = 3 p 2 E .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Температура.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории для идеального газа устанавливает связь легко измеряемого макроскопического параметра - давления - с такими микроскопическими параметрами газа, как средняя кинетическая энергия и концентрация молекул.
Но, измерив только давление газа, мы не можем узнать ни среднее значение кинетической энергии молекул в отдельности, ни их концентрацию. Следовательно, для нахождения микроскопических параметров газа нужны измерения еще какой-то физической величины, связанной со
средней кинетической энергией молекул. Такой величиной в физике является температура.
Из повседневного опыта каждый знает, что бывают тела горячие и холодные. При контакте двух тел, из которых одно мы воспринимаем как горячее, а другое - как холодное, происходят изменения физических параметров как первого, так и второго тела. Например, твердые и жидкие тела обычно при нагревании расширяются. Через некоторое время после установления контакта между телами изменения макроскопических параметров тел прекращаются. Такое состояние тел называется тепловым равновесием. Физический параметр, одинаковый во всех частях системы тел, находящихся в состоянии теплового равновесия, называется температурой тела. Если при контакте двух тел никакие их физические параметры, например объем, давление, не изменяются, то между телами нет теплопередачи и температура тел одинакова.
Термометры.
В повседневной практике наиболее распространен способ измерения температуры с помощью жидкостного термометра.
В устройстве жидкостного термометра используется свойство расширения жидкостей при нагревании. В качестве рабочего тела обычно применяется ртуть, спирт, глицерин. Чтобы измерить температуру тела, термометр приводят в контакт с этим телом; между телом и термометром будет осуществляться теплопередача до установления теплового равновесия. Масса термометра должна быть значительно меньше массы тела, так как в противном случае процесс измерения может существенно изменить температуру тела.
Изменения объема жидкости в термометре прекращаются, когда между телом и термометром прекращается теплообмен. При этом температура жидкости в термометре равна температуре тела.
Отметив на трубке термометра положение конца столба жидкости при помещении термометра в тающий лед, а затем в кипящую воду при нормальном давлении и разделив отрезок между этими отметками на 100 равных частей, получают температурную шкалу по Цельсию. Температура тающего льда принимается равной (рис. 83), кипящей воды - (рис. 84). Изменение длины столба жидкости в термометре на одну сотую длины между отметками 0 и соответствует изменению температуры на
Существенным недостатком способа измерения температуры с помощью жидкостных термометров является то, что шкала температуры при этом оказывается связанной с конкретными физическими свойствами определенного вещества, используемого в качестве рабочего тела в термометре, - ртути, глицерина, спирта. Изменение объема различных жидкостей при одинаковом нагревании оказывается несколько различным. Поэтому ртутный и глицериновый термометры, показания которых совпадают при 0 и 100 °С, дают разные показания при других температурах.
Газы в состоянии теплового равновесия.
Для того чтобы найти более совершенный способ определения температуры, нужно найти такую величину, которая была бы одинаковой для любых тел, находящихся в состоянии теплового равновесия.
Экспериментальные исследования свойств газов показали, что для любых газов, находящихся в состоянии теплового равновесия, отношение произведения давления газа на его объем к числу молекул оказывается одинаковым:
Этот опытный факт позволяет принять величину 0 в качестве естественной меры температуры.
Так как то с учетом основного уравнения молекулярно-кинетической теории (24.2) получим
Следовательно, средняя кинетическая энергия молекул любых газов, находящихся в тепловом равновесии, одинакова. Величина 0 равна двум третям средней кинетической энергии беспорядочного теплового движения молекул газа и выражается в джоулях.
В физике обычно выражают температуру в градусах, принимая, что температура Т в градусах и величина 0 связаны уравнением
где - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единицы температуры.
Отсюда получаем
Последнее уравнение показывает, что имеется возможность выбрать температурную шкалу, не зависящую от природы газа, используемого в качестве рабочего тела.
Практически измерение температуры на основании использования уравнения (25.4) осуществляется с помощью газового термометра (рис. 85). Устройство его таково: в сосуде постоянного объема находится газ, количество газа остается неизменным. При постоянных значениях объема V и числа молекул давление газа, измеряемое манометром, может служить мерой температуры газа, а значит, и любого тела, с которым газ находится в тепловом равновесии.
Абсолютная шкала температур.
Шкала измерения температуры в соответствии с уравнением (25.4) называется абсолютной шкалой. Ее предложил английский физик У. Кельвии (Томсон) (1824-1907), поэтому шкалу называют также - шкалой Кельвина.
До введения абсолютной шкалы температур в практике получила широкое распространение шкала измерения температуры по Цельсию. Поэтому единица температуры по абсолютной шкале, называемая кельвином выбрана равной одному градусу по шкале Цельсия:
Абсолютный нуль температуры.
В левой части уравнения (25.4) все величины могут иметь только положительные значения или быть равными нулю. Поэтому абсолютная температура Т может быть только положительной или равной нулю. Температура, при которой давление идеального газа при постоянном объеме должно быть равно нулю, называется абсолютным нулем температуры.
Постоянная Больцмана.
Значение постоянной к в уравнении (25.4) можно найти по известным значениям давления и объема газа с известным числом молекул при двух значениях температуры
Как известно, 1 моль любого газа содержит примерно молекул и при нормальном давлении Па занимает объем
Опыты показали, что при надевании любого газа при постоянном объеме от 0 до 100° С его давление возрастает от до Па. Подставляя эти значения в уравнение (25.6), получаем
Коэффициент называется постоянной Больцмана, в честь австрийского физика Людвига Больцмана (1844-1906), одного из создателей молекулярно-кинетической теории.
«Физика - 10 класс»
Какие макропараметры используют для описания состояния газа?
Справедливо ли утверждение: «Чем быстрее движутся молекулы газа, тем выше его температура»?
Средняя кинетическая энергия молекул газа при тепловом равновесии.
Возьмём сосуд, разделённый пополам перегородкой, проводящей тепло. В одну половину сосуда поместим кислород, а в другую - водород, имеющие разную температуру. Спустя некоторое время газы будут иметь одинаковую температуру, не зависящую от рода газа, т. е. будут находиться в состоянии теплового равновесия. Для определения температуры выясним, какая физическая величина в молекулярно-кинетической теории обладает таким же свойством.
Из курса физики основной школы известно, что, чем быстрее движутся молекулы, тем выше температура тела. При нагревании газа в замкнутом сосуде давление газа возрастает. Согласно же основному уравнению молекулярно-кинетической теории (9.7) давление газа р прямо пропорционально средней кинетической энергии поступательного движения молекул:
Так как концентрация молекул газа то из уравнения (9.7) получаем или или, согласно формуле (8.8),
При тепловом равновесии, если давление и объём газа массой m постоянны и известны, то средняя кинетическая энергия молекул газа должна иметь строго определённое значение, как и температура.
Можно предположить, что при тепловом равновесии именно средние кинетические энергии молекул всех газов одинаковы .
Конечно, это пока только предположение. Его нужно экспериментально проверить. Практически такую проверку произвести непосредственно невозможно, так как измерить среднюю кинетическую энергию молекул очень трудно. Но с помощью основного уравнения молекулярно-кинетической теории её можно выразить через макроскопические параметры:
Если кинетическая энергия действительно одинакова для всех газов в состоянии теплового равновесия, то и значение давления р должно быть тоже одинаково для всех газов при
Газы в состоянии теплового равновесия.
Рассмотрим следующий опыт. Возьмём несколько сосудов, заполненных различными газами, например водородом, гелием и кислородом. Сосуды имеют определённые объёмы и снабжены манометрами. Это позволяет измерить давление в каждом сосуде. Массы газов известны, тем самым известно число молекул в каждом сосуде.
Приведём газы в состояние теплового равновесия. Для этого поместим их в тающий лёд и подождём, пока не установится тепловое равновесие и давление газов перестанет меняться (рис. 9.4). После этого можно утверждать, что все газы имеют одинаковую температуру 0 °С. Давления газов р, их объёмы V и число молекул N различны. Найдём отношение для водорода. Если, к примеру, водород, количество вещества которого равно 1 моль, занимает объём V H 2 = 0,1 м 3 , то при температуре 0 °С давление оказывается равным р Н 2 = 2,265 10 4 Па. Отсюда
Если взять водород в объёме, равном kV H 2 , то и число молекул будет равно kN A и отношение останется равным 3,76 10 -21 Дж.
Такое же значение отношения произведения давления газа на его объём к числу молекул получается и для всех других газов при температуре тающего льда. Обозначим это отношение через Θ 0 . Тогда
Таким образом, наше предположение оказалось верным.
Средняя кинетическая энергия , а также давление р в состоянии теплового равновесия одинаковы для всех газов, если их объёмы и количества вещества одинаковы или если отношение
Соотношение (9.10) не является абсолютно точным. При давлениях в сотни атмосфер, когда газы становятся весьма плотными, отношение перестаёт быть строго определённым, не зависящим от занимаемых газами объёмов. Оно выполняется для газов, когда их можно считать идеальными.
Если же сосуды с газами поместить в кипящую воду при нормальном атмосферном давлении, то согласно эксперименту отношение по-прежнему будет одним и тем же для всех газов, но больше, чем предыдущее:
Определение температуры.
Можно следовательно, утверждать, что величина Θ растёт с повышением температуры. Более того, Θ ни от чего, кроме температуры, не зависит. Ведь для идеальных газов Θ не зависит ни от рода газа, ни от его объёма или давления, а также от числа частиц в сосуде.
Этот опытный факт позволяет рассматривать величину Θ как естественную меру температуры, как параметр газа, определяемый через другие макроскопические параметры газа.
В принципе можно было бы считать температурой и саму величину Θ и измерять температуру в энергетических единицах - джоулях.
Однако, во-первых, это неудобно для практического использования (температуре 100 °С соответствовало бы очень малое значение - порядка 10 -21 Дж), а во-вторых, и это главное, уже давно температуру принято выражать в градусах.
Представляет собой ту энергию, которая определяется скоростью движения различных точек, принадлежащих этой системе. При этом следует различать энергию, которая характеризует поступательное движение и движение вращательное. При этом, средняя кинетическая энергия - это средняя разность между совокупной энергией всей системы и ее энергией покоя, то есть, в сущности, ее величина является средней величиной потенциальной энергии.
Ее физическая величина определяется по формуле 3 / 2 кТ, в которой обозначены: Т - температура, k - константа Больцмана. Эта величина может служить своеобразным критерием для сравнения (эталоном) для энергий, заключенных в различных типах теплового движения. К примеру, средняя кинетическая энергия для молекул газа при исследовании поступательного движения, равна 17 (- 10) нДж при температуре газа 500 С. Как правило, наибольшей энергией при поступательном движении обладают электроны, а вот энергия нейтральных атомов и ионов и значительно меньше.
Данная величина, если мы рассматриваем любой раствор, газ или жидкость, находящуюся при данной температуре, имеет постоянное значение. Такое утверждение справедливо и для коллоидных растворов.
Несколько иначе обстоит дело с твердыми веществами. В этих веществах средняя кинетическая энергия любой частицы слишком мала для того, чтобы преодолеть силы молекулярного притяжения, а потому она может только совершать движение вокруг некой точки, которая условно фиксирует определенное равновесное положение частицы на протяжении длительного отрезка времени. Это свойство и позволяет твердому веществу быть достаточно устойчивым по форме и объему.
Если мы рассматриваем условия: поступательное движение и идеальный газ, то здесь средняя кинетическая энергия не является величиной, зависимой от молекулярной массы, а потому определяется как значение, прямо пропорциональное значению абсолютной температуры.
Все эти суждения мы привели с той целью, чтобы показать, что они справедливы для всех типов агрегатных состояний вещества - в любом из них температура выступает в качестве основной характеристики, отражающей динамику и интенсивность теплового движения элементов. А в этом состоит сущность молекулярно-кинетической теории и содержание понятия теплового равновесия.
Как известно, если два физических тела приходят во взаимодействие друг с другом, то между ними возникает процесс теплообмена. Если же тело представляет собой замкнутую систему, то есть не взаимодействует ни с какими телами, то его теплообменный процесс будет длиться столько времени, сколько потребуется для выравнивания температур этого тела и окружающей среды. Такое состояние называют термодинамическим равновесием. Этот вывод многократно был подтвержден результатами экспериментов. Чтобы определить среднюю кинетическую энергию, следует обратиться к характеристикам температуры данного тела и его теплообменных свойств.
Важно также учитывать, что микропроцессы внутри тел не заканчиваются и тогда, когда тело вступает в термодинамическое равновесие. В этом состоянии внутри тел происходит перемещение молекул, изменение их скоростей, удары и столкновения. Поэтому выполняется только одно из нескольких наших утверждений - объем тела, давление (если речь идет о газе), могут различаться, но вот температура все равно будет оставаться величиной постоянной. Этим еще раз подтверждается утверждение, что средняя кинетическая энергия теплового движения в изолированных системах определяется исключительно показателем температуры.
Эту закономерность установил в ходе опытов Ж. Шарль в 1787 году. Проводя опыты, он заметил, что при нагреве тел (газов) на одинаковую величину, давление их меняется в соответствии с прямо пропорциональным законом. Это наблюдение дало возможность создать много полезных приборов и вещей, в частности - газовый термометр.
