Построение проекции меркатора. Прямая равноугольная цилиндрическая проекция меркатора

Он никогда не совершал морских путешествий, все открытия сделал в своем кабинете, но его труды достойно венчают эпоху Великих географических открытий. Он собрал воедино все накопленные в Европе географические знания, создал наиболее точные карты. С Герарда Меркатора берет свое начало наука, получившая название картографии.

В XIII-XIV веках в Европе появляются компас и морские навигационные карты, на которых довольно точно отображалась береговая линия, а внутренние области суши заполнялись картинами из жизни населявших их народов, подчас весьма далекими от действительности. В 1375-1377 годах Авраам Крескес составляет знаменитые Каталонские карты.

В них отразился весь опыт мореплавания, накопленный к тому времени. Вместо сетки параллелей и меридианов на них были нанесены линии, отмечавшие направление, которое указывала стрелка компаса: по ним можно было ориентироваться в далеких плаваниях. В 1409 году Мануэл Хризопор переводит "Географию" Птолемея, заново открывая ее для современников.

Морские плавания Колумба, Васко да Гамы, Магеллана дали множество новых фактов, не вписывающихся в прежние географические представления. Они требовали осмысления и оформления в виде новой географии, дававшей возможность осуществлять дальние торговые и военные походы. Выполнил эту задачу Герард Меркатор, знаменитый географ, автор новой картографии.

Эта удивительная карта была нарисована в 1538 году Герхардом Меркатором - чрезвычайно уважаемым картографом, жившим в 16 веке. Его работы весьма знамениты, и вы до сих пор можете купить атлас Меркатора в магазине. Он первым использовал слово «Атлас» для коллекции карт. И его работы в географии были столь же важны для развития науки, как и Коперника в астрономии. Кстати, он дружил и сотрудничал с известным алхимиком, магом и астрологом Джоном Ди. Был хорошим знатоком математики и в свое время даже преподавал ее. Разработал способ массового производства глобусов.

Герхард Меркатор был известен тем, что периодически обновлял свои работы и создавал новые, более подробные атласы мира по мере того, как всё больше берегов открывались мореплавателям, и к нему поступали всё более и более точные данные. В ходе одного такого обновления, его карта мира 1538 года (приведена на рисунке выше) была заменена новой в 1569 году. И что удивительно, карта 1538 года не только была более точной, чем более поздняя, но и содержала в себе корректные измерения географической долготы.

Чтобы понять значение этого факта, следует сказать, что вычисление долготы намного более сложный процесс, чем вычисление широты, которую можно определить наблюдениями за звёздами и Солнцем. Вычисление долготы требует решения уравнения «Расстояние = скорость, помноженная на время» и, что ещё более важно, точных часов. Определение долготы в своё время было названо «величайшей проблемой морской навигации» и в 1700-х годах в Англии даже был создан специальный Комитет по вопросам долготы, призванный решить эту проблему. В 1714 году сэр Исаак Ньютон предстал перед Комитетом и объяснил, что истинным корнем проблемы является то, что «часы, необходимые для измерения такой точности, пока ещё просто не изобретены». Королева Англии затем установила награду в 200 тысяч фунтов человеку, который сможет построить такие часы и наконец, в 1761 году некто Гаррисон получил эту награду и выдвинул свой прототип хронометра, который затем «открыл миру новую эру морских путешествий». В течение 19 века карты обновлялись уже корректными измерениями долготы.

Однако карта Меркатора была отмечена точными значениями долготы ещё в 1538 году - за 223 лет до того, как она была открыта. Откуда он получил эту информацию? Очевидно, что сам Меркатор не имел в то время никаких знаний о долготе и должен был получить эту информацию из некого иного источника, поскольку последующие карты были отмечены неверными значениями - а значит, их источник считался более надёжным. Эти карты таят в себе большую загадку - если человек глубокой древности никогда не совершал кругосветного путешествия и не располагал никакими познаниями о географической долготе, то как эти карты вообще появились на свет? Ответа на этот вопрос мы не знаем.

Карта мира, 1531 год:

Герард Меркатор родился 5 марта 1512 года в городе Рюпельмонде (современная Бельгия), в области, входившей тогда в состав Нидерландов. Он был седьмым ребенком в семье, жившей достаточно бедно. Когда Герарду исполнилось 14 или 15 лет, его отец умер, и семья осталась без средств к существованию. Воспитателем Герарда становится его родственник, кюре Гизберт Кремер. Благодаря ему Герард получает образование в гимназии небольшого городка Буа-де-Дюн. Хотя эта гимназия имела духовную направленность, в ней изучались и классические древние языки и начала логики. В это время Герард меняет свою немецкую фамилию Кремер, что значит "лавочник", на латинскую Меркатор - "торговец", "купец".

Гимназию он оканчивает очень быстро, за три с половиной года, и почти сразу же продолжает обучение в Лувенском университете, вновь благодаря поддержке Гизберта Кремера. Лувен был крупнейшим научным и учебным центром Нидерландов, в нем находилось 43 гимназии, а его университет, основанный еще в 1425 году, был лучшим в Северной Европе. В центр гуманистического образования и свободомыслия город превратился благодаря Эразму Роттердамскому (1465-1536), жившему некоторое время в Лувене.

Именно в университетские годы у Меркатора появляется особый интерес к естественным наукам, особенно к астрономии и географии. Он начинает читать сочинения древних авторов, стремясь узнать, как устроен земной шар. Впоследствии он напишет: "Когда я пристрастился к изучению философии, мне страшно нравилось изучение природы, потому что она дает объяснение причин всех вещей и является источником всякого знания, но я обращался лишь к частному вопросу - к изучению устройства мира". Убедившись в недостаточности своих знаний в области математики, особенно геометрии, он приступает к самостоятельному ее изучению. Существовавший тогда учебник его явно не удовлетворяет, и он читает в подлиннике первые семь книг "Начал" Евклида.

"Когда я пристрастился к изучению философии, мне страшно нравилось изучение природы, потому что она является источником всякого знания, но я обращался лишь к изучению устройства мира". Из письма Г. Меркатора

После окончания университета Меркатор получает степень "мастера искусств" (лиценциата) и остается жить в Лувене. Не теряя связи с университетом, он слушает лекции о планетах профессора Геммы Фризиуса, одного из выдающихся людей того времени. Блестящий астроном, математик, картограф и врач, Фризиус прокладывал новые пути в науке и практике. Его перу принадлежат сочинения по космографии и географии, он изготовлял глобусы и астрономические инструменты. Меркатор становится его учеником и помощником. Начав с гравировальных работ, он затем переходит и к более сложным - к изготовлению глобусов, астролябий и других астрономических приборов. Сконструированные и изготовленные им инструменты благодаря своей точности почти сразу приносят ему известность.

Одновременно с этим Меркатор включается в разработку математических основ картографии. Основная проблема заключалась в том, что из-за шарообразной формы Земли ее поверхность невозможно изобразить на плоскости без искажений, и нужно было найти такой способ, при котором изображения океанов и материков на карте выглядели бы наиболее похоже. В 25 лет Меркатор выступает со своей первой самостоятельной картографической работой: это карта Палестины, изданная в Лувене.

В следующем году он издает карту мира в двойной сердцевидной проекции, выполненную очень тщательно и учитывающую новейшие географические сведения. На этой карте название Америка впервые распространено на оба материка Нового Света, а сама Америка изображается отделенной от Азии, вопреки распространенному тогда ошибочному представлению. Все работы Меркатора подчинены единому плану и тесно взаимосвязаны: в пояснительном тексте к карте он говорит, что показанный на карте мир будет впоследствии рассмотрен детально.

В 1541 году Меркатор конструирует небесный глобус с изображением звезд и фигур созвездий, ко торый стал одним из лучших для того времени. Он свободно вращался вокруг оси, проходящей через полюсы и закрепленной внутри массивного медного кольца. О тличительной особенностью этого глобуса была нанесенная на его поверхность сетка кривых линий, предназначенных для облегчения морской навигации. Эти линии позволяют считать, что при создании глобуса Меркатором была в основном завершена разработка знаменитой картографической проекции, названной потом его именем.

Картографическая проекция Меркатора увеличивает размеры полярных стран, но зато позволяет легко определить нужное направление - это имеет огромное значение в мореплавании.

Благодаря своим работам по изготовлению карт и астрономических инструментов Меркатор становится все более знаменитым, слава о нем доходит даже до короля Испании Карла V. Но широкая известность привлекает и внимание инквизиции. Появляются сведения, что Меркатор вольно обсуждает несоответствия в учениях Аристотеля и в Библии, а кроме того, пребывает в постоянных разъездах, что само по себе всегда выглядит подозрительным в глазах инквизиторов. В 1544 году он попадает в тюрьму. Многочисленные заступничества не приводят к успеху, и лишь после вмешательства Карла V, проведя четыре месяца в заключении, Меркатор вновь обретает свободу.

Опасаясь гонений, он переезжает в Дуйсбург, где дышится вольнее, но условия работы гораздо хуже. Этот город удален от моря и от торговых путей, и добывать сведения о последних открытиях, получать новые чертежи и карты здесь сложнее, чем в Лувене. Однако его выручает географ Авраам Ортелий: между коллегами завязывается тесная переписка, благодаря которой Меркатор и получает нужные сведения.

В Дуйсбурге он продолжает работать над изданием карт. Теперь он трудится в одиночку, на его плечи ложится и составление, и вычерчивание, и гравировка карт, составление надписей и легенд, а также забота о продаже карт. Работа над созданием всеобъемлющего труда по космографии, поглотившая его целиком, началась в 1564 году. Меркатор задумывал картографическое произведение, включающее разделы "Сотворение мира", "Описание небесных предметов", "Земля и моря", "Генеалогия и история государств", "Хронология".

Из-за шарообразности Земли ее поверхность невозможно изобразить на плоскости абсолютно точно. На картах, составленных Меркатором, очертания океанов и континентов представлены с наименьшими искажениями.

В 1569 году Меркатор издает карту Мира, названную им "Новое и наиболее полное изображение земного шара, проверенное и приспособленное для применения в навигации". Она была выполнена на 18 листах, при ее изготовлении использовался новый способ изображения сетки параллелей и меридианов, получивший впоследствии название меркаторской (или цилиндрической) проекции. При составлении карты он ставил перед собой задачу показать земной шар на плоскости так, чтобы изображения всех точек земной поверхности соответствовали их истинному положению, а очертания стран, по возможности, не искажались. Еще одна цель состояла в изображении мира, известного древним - то есть Старого Света, - и места, занимаемого им на Земле. Меркатор писал, что с открытием новых материков перед всем миром предстали более отчетливо и ярко достижения древних в изучении Старого Света, изображение которого с наиболее возможной полнотой представлено на карте.

К 1571 году Меркатор завершает работу, названную им "Атлас, или картографические соображения о сотворении мира и вид сотворенного". К "Атласу" прилагались карты. С тех пор слово "атлас" стало нарицательным для собрания карт. Издание "Атласа" увидело свет лишь в 1595 году, через год после смерти Герарда Меркатора.

Карта Джона Ди 1582 года. На ней мы видим практически то же изображение Арктиды, что и на карте Меркатора 1569 года, но без окрашивания в разные цвета разных территорий и без нанесения названий. Арктида «пигмеев» здесь выдаётся на юг еще больше, однако участок побережья, отделенный горной грядой здесь отсутствует вовсе. Америка уехала от Четвертой Арктиды очень далеко, так что океан в данном месте весьма широкий, а самое узкое место находится в проливе, осуществляющем контакт с Азией. Так что тенденция к отделению Арктид от материков здесь осуществляется в наибольшей степени.

Храбрые моряки, чьи большие рейсы исследования открыли мир, являются изобразительными фигурами в европейской истории. В 1492 Колумбус нашел Новый Мир; В 1488 диаметры обнаружили Мыс Доброй Надежды; и Magellan, выделенный, чтобы плавать вокруг мира в 1519. Однако, есть одна трудность с этим уверенным утверждением европейского мастерства: это, возможно, не верно.

Кажется более вероятным, что мир и все его континенты были обнаружены китайским адмиралом по имени Zheng Он, флоты которого бродили по океанам между 1405 и 1435. Его деяния, которые хорошо зарегистрированы в китайские исторические отчеты, были написаны о в книге, которая появилась в Китае приблизительно в 1418, названном ”Изумительные Видения Плота Звезды”.

В пеших путешествиях и велопоездках незаменимым спутником исследователя является топографическая карта. Одной из задач картографии (одной из дисциплин такой науки как геодезия ) является изображение криволинейной поверхности Земли (фигуры Земли) на плоской карте. Для решения этой задачи необходимо выбрать эллипсоид — форму трехмерного тела, приближенно соответствующего земной поверхности, датум — начальную точку системы координат (центр эллипсоида) и начальный меридиан (англ. prime meridian ) и проекцию — способ изображения поверхности этого тела на плоскости.

Эллипсоиды и датумы

В разное время для построения карт использовались различные варианты представления поверхности Земли в виде сферы или эллипсоида.

Представление Земли в виде сферы радиусом 6378137 метра (либо 6367600 метров) позволяет определить координаты любой точки на земной поверхности в виде двух чисел — широты $\phi$ и долготы $\lambda$:

Для земного эллипсоида в качестве (географической) широты используется понятие геодезическая широта (англ. geodetic latitude ) φ — угол, образованный нормалью к поверхности земного эллипсоида в данной точке и плоскостью его экватора, причем нормаль не проходит через центр эллипсоида за исключением экватора и полюсов:

Значение долготы (англ. longitude ) λ зависит от выбора начального (нулевого) меридиана для эллипсоида.
В качестве параметров эллипсоида обычно используются радиус большой (экваториальной) полуоси a и сжатие f .
Сжатие $f = {{a-b} \over a}$ определяет сплюснутость эллипсоида у полюсов.

Одним из первых эллипсоидов был эллипсоид Бесселя (Bessel ellipsoid, Bessel 1841 ), определенный из измерений в 1841 году Фридрихом Бесселем (Friedrich Wilhelm Bessel ), с длиной большой полуоси a = 6377397,155 м и сжатием f = 1:299,152815 . В настоящее время он используется в Германии, Австрии, Чехии и некоторых азиатских и европейских странах.

датум Potsdam (PD)

Ранее для построения карт в проекции UTM использовался международный эллипсоид (International ellipsoid 1924 , Hayford ellipsoid ) с длиной большой (экваториальной) полуоси a = 6378388 м и сжатием f = 1:297,00 , предложенный американским геодезистом Джоном Филлмором Хейфордом ( в 1910 году.

Джон Филлмор Хейфорд

датум ED 50 (European Datum 1950 )

• эллипсоид — International ellipsoid 1924
• Greenwich prime meridian )

Для выполнения работ на всей территории СССР с 1946 года (постановление Совета Министров СССР от 7 апреля 1946 г. № 760) использовалась геодезическая система координат СК-42 (Пулково 1942) , основанная на эллипсоиде Красовского с длиной большой (экваториальной) полуоси a = 6378245 м и сжатием f = 1:298,3 . Этот референц-эллипсоид назван в честь советского астронома-геодезиста Феодосия Николаевича Красовского. Центр этого эллипсоида сдвинут по отношению у центру масс Земли примерно на 100 метров для максимального соответствия поверхности Земли на европейской территории СССР.

датум Пулково-1942 (Pulkovo 1942)

• эллипсоид — Красовского (Krassowsky 1940 )
• нулевой меридиан — гринвичский меридиан (Greenwich prime meridian )

В настоящее время (в том числе и в системе GPS ) широко используется эллипсоид WGS84 (World Geodetic System 1984) с длиной большой полуоси a = 6378137 м, сжатием f = 1:298,257223563 и эксцентрисетом e = 0,081819191 . Центр этого эллипсоида совпадает с центром масс Земли.

датум WGS84 (EPSG:4326)

• эллипсоид — WGS84
• нулевой меридиан — опорный меридиан (IERS Reference Meridian (International Reference Meridian)) , проходящий в 5,31″ к востоку от Гринвичского меридиана. Именно от этого меридиана отсчитывается долгота в системе GPS (англ. GPS longitude )
  

Центр системы координат WGS84 совпадает с центром масс Земли, ось Z системы координат направлена на опорный полюс (англ. IERS Reference Pole (IRP)) и совпадает с осью вращения эллипсоида, ось X проходит по линии пересечения нулевого меридиана и плоскости, проходящей через точку начала координат и перпендикулярную к оси Z , ось Y перпедикулярна оси X .

Альтернативой эллипсоиду WGS84 является эллипсоид ПЗ-90 , используемый в системе ГЛОНАСС , с длиной большой полуоси a = 6378136 м и сжатием f = 1:298,25784 .

Преобразования датумов

При простейшем варианте перехода между датумами Пулково-1942 и WGS84 необходимо учитывать только смещение центра эллипсоида Красовского по отношению к центру эллипсоида WGS84 :
рекомендовано в ГОСТ 51794-2001 —
dX = +00023,92 м; dY = –00141,27 м; dZ = –00080,91 м;
рекомендовано в World Geodetic System 1984 . NIMA, 2000 —
dX = +00028 м; dY = –00130 м; dZ = –00095 м.
Следует отметить, что выше приведены усредненные значения коэффициентов, которые для более точного преобразования должны вычисляться для каждой точки земной поверхности индивидуально. Например, для соседней с Беларусью Польшей эти параметры таковы:
dX = +00023 м; dY = –00124 м; dZ = –00082 м (по данным )
Такое преобразование называется трехпараметрическим .
При более точной трансформации (преобразовании Молоденского ) необходимо учитывать разницу между формами эллипсоидов, определяемую двумя параметрами:
da — разница между длинами больших полуосей, df — разница между коэффициентами сжатия (разница в уплощении). Их значения одинаковы для ГОСТ и NIMA :
da = – 00108 м; df = + 0,00480795 ⋅ 10 -4 м.

При переходе между датумами ED 50 и WGS84 параметры преобразования таковы:
da = – 00251 м; df = — 0,14192702 ⋅ 10 -4 м;
для Европы dX = -87 м; dY = –96 м; dZ = –120 м (по данным User’s Handbook on Datum Transformations involving WGS-84, 3-е издание, 2003 ).

Набор из указанных пяти параметров (dX , dY , dZ , da , df ) может вводиться в навигатор или навигационную программу в качестве характеристики используемого пользователем датума.

Проекции

Способ изображения трехмерной земной поверхности на двумерной карте определяется выбранной картографической проекцией .
Наиболее популярны (нормальная ) цилиндрическая проекция Меркатора и такая ее разновидность как поперечно-цилиндрическая проекция Меркатора (Transverse Mercator ).

В отличие от известной в течение веков нормальной проекции Меркатора, которая особенно хороша для изображения экваториальных областей, поперечная проекция отличается тем, что цилиндр, на который проецируется поверхность планеты, повернут на 90°:

Цилиндрическая проекция Меркатора

Сферическая проекция Меркатора

Для сферической проекции действуют следующие формулы перевода широты $\phi$ и долготы $\lambda$ точки на поверхности земной сферы (в радианах) в прямоугольные координаты $x$ и $y$ на карте (в метрах):
$x = (\lambda — {\lambda}_0) \cdot R$ ;
$y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot R =\ln { (\tan{ ({\phi \over 2} + {\pi \over 4} }) }) \cdot R$
(logarithmic tangent formula ) ,
где $R$ — радиус сферы, ${\lambda}_0$ — долгота нулевого меридиана.
Масштабный коэффициент $k$ представляет собой отношения расстояния по сетке карты (англ. grid distance ) к локальному (геодезическому) расстоянию (англ. geodetic distance ):
$k = {1 \over {\cos \phi}}$.
Обратный перевод реализуется с помощью таких формул:
$\lambda = {x \over R} + {\lambda}_0 $ ;
$ \phi = {\pi \over 2} — 2 \arctan(e^{-y \over R}) $ .
Важной для мореплавания особенностью проекции Меркатора является то, что линия румба (англ. rhumb lines ) или локсодрома (англ. loxodrome ) на ней изображается прямой линией.
Локсодрома — это дуга, пересекающая меридианы под одним и тем же углом, т.е. путь с постоянным (локсодромическим ) путевым углом.
Путевой угол , ПУ (англ. heading ) - это угол между северным направлением меридиана в месте измерения и направлением линии пути, отсчитывается по часовой стрелке от направления на географический север (0° применяется для указания направления движения на север, 90° — на восток).
Локсодромы являются спиралями, совершающими неограниченное число витков, приближаясь к полюсам.

Следует отметить, что локсодрома не является кратчайшим путем между двумя точками — ортодромой, дугой большого круга , соединяющей эти точки.

Web Mercator

Вариант меркаторовской сферической проекции используется многими картографическими сервисами, например, OpenStreetMap, Google Maps, Bing Maps.

В OpenStreetMap карта мира представляет собой квадрат с координатами точек по осям x и y , лежащими между -20 037 508,34 и 20 037 508,34 м. Как следствие, на такой карте не показаны области, лежащие севернее 85,051129° северной широты и южнее 85,051129° южной широты. Это значение широты $\phi_{max}$ является решением уравнения:
$\phi_{max} = 2\arctan(e^\pi) — {\pi\over 2} $ .
Как и любой карте, составленной в проекции Меркатора, ей свойственны искажения площадей, наиболее ярко проявляющиеся при сравнении изображенных на карте Гренландии и Австралии:

При прорисовке карты в OpenStreetMap координаты (широта и долгота) на эллипсоиде в системе WGS84 проецируются на плоскость карты так, как будто эти координаты определены на сфере радиусом R = a = 6 378 137 м (перепроецирование) — сферическое представление эллипсоидальных координат («spherical development of ellipsoidal coordinates «). Этой проекции, получившей название Web Mercator ) соответствует EPSG (European Petroleum Survey Group ) код 3857 («WGS 84 / Pseudo-Mercator «).
Перепроецирование из EPSG:4326 в EPSG:3857 ($\phi ,\lambda \rightarrow x,y $) реализуется по вышеприведенным формулам для обычной сферической проекции Меркатора.
На такой карте направление на север всегда соответствуют направлению на верхнюю сторону карты, меридианы представляют собой равноотстоящие друг от друга вертикальные линии.
Но такая проекция в отличие от сферической или эллиптической проекции Меркатора не является равноугольной (конформной ), линии румба в ней не являются прямыми. Линия румба (локсодром ) — это линия пересекающая меридианы под постоянным углом.
Преимуществом рассматриваемой проекции является простота вычислений.

В указанной проекции карта может быть расчерчена прямоугольной сеткой координат (по значениям долготы и широты).
Привязку карты (сопоставление прямоугольных координат на карте и географических координат на местности) можно осуществить по $N$ точкам с известными координатами. Для этого необходимо решить систему из $2 N$ уравнений вида
$X = \rho_{\lambda} \lambda — X_0$ , $Y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot \rho_{\phi} — Y_0 $ .
Для решения системы уравнений и определения значений параметров $X_0$ , $Y_0$ , $\rho_{\lambda}$ , $\rho_{\phi}$ можно использовать, например, математический пакет Mathcad .
Для проверки правильности привязки карты можно определить отношение длин сторон прямоугольника построенной сетки. Если горизонтальная и вертикальная стороны прямоугольника соответствуют одинаковой угловой длине по долготе и широте, то отношение длины горизонтальной стороны (дуги параллели — малого круга) к длине вертикальной стороны (дуги меридиана — большого круга) должно быть равно $\cos \phi$ , где $\phi$ — географическая широта места.

Эллиптическая проекция Меркатора

Эллиптическая проекция Меркатора (EPSG:3395 — WGS 84/World Mercator ) используется, например, сервисами Яндекс.Карты , Космоснимки.
Для эллиптической проекции действуют следующие формулы перевода широты $\phi$ и долготы $\lambda$ точки на поверхности земной сферы (в радианах) в прямоугольные координаты $x$ и $y$ на карте (в метрах):
$x = (\lambda — {\lambda}_0) \cdot a$ ;
$y = a \ln (\tan ({\pi \over 4} + {\phi \over 2}) ({{1 — e \sin {\phi}} \over {1 + e \sin {\phi}}})^{e \over 2}) $ ,
где $a$ — длина большой полуоси эллипсоида, $e$ — эксцентриситет эллипсоида, ${\lambda}_0$ — долгота нулевого меридиана.
Масштабный коэффициент $k$ определяется выражением:
$k = {{\sqrt {(1 — {e^2} {{(\sin \phi)}^2})}} \over {\cos \phi}} $ .
Обратный перевод реализуется с помощью таких формул:
$\lambda = {x \over a} + {\lambda}_0 $ ;
$ \phi = {\pi \over 2} — 2 \arctan(e^{-y \over a} ({{1 — e \sin {\phi}} \over {1 + e \sin {\phi}}})^{e \over 2}) $ .
Широта вычисляется по итерационной формуле, в качестве первого приближения следует использовать значение широты, вычисленной по формуле для сферической проекции Меркатора.

Поперечно-цилиндрическая проекция Меркатора

Чаще всего используются две разновидности поперечно-цилиндрической проекции Меркатора — проекция Гаусса-Крюгера (англ. Gauss — Krüger ) (получила распространение на территории бывшего СССР) и универсальная поперечная проекция Меркатора (англ. Universal Transverse Mercator (UTM )).
Для обеих проекций цилиндр, на который происходит проекция, охватывает земной эллипсоид по меридиану, называемому центральным (осевым) меридианом (англ. central meridian, longitude origin) зоны. Зона (англ. zone ) - это участок земной поверхности, ограниченный двумя меридианами с разностью долготы в 6°. Всего существует 60 зон. Зоны полностью покрывают поверхность Земли между широтами 80°S и 84°N.
Отличие двух проекций заключается в том, что проекция Гаусса-Крюгера — это проекция на касательный цилиндр, а универсальная поперечная проекция Меркатора — это проекция на секущий цилиндр (для избежания искажений на крайних меридианах):

Проекция Гаусса-Крюгера

Проекция Гаусса-Крюгера была разработана немецкими учёными Карлом Гауссом и Луи Крюгером.
В этой проекции зоны нумеруются с запада на восток, начиная с меридиана 0°. Например, зона 1 простирается с меридиана 0° до меридиана 6°, ее центральный меридиан 3°.
В советской системе разграфки и номенклатуры топографических карт зоны называются колоннами и нумеруются с запада на восток, начиная с меридиана 180°.
Например, Гомель и окрестности относятся к зоне 6 (колонне 36 ) с центральным меридианом 33°.
Зоны/колонны делятся параллелями на ряды (через 4°), которые обозначаются заглавными латинскими буквами от А до V , начиная от экватора к полюсам.
Например, Гомель и окрестности относятся к ряду N . Таким образом, полное название листа карты масштаба 1:1 000 000 (10 км в 1 см), изображающей Гомель, выглядит как N-36 . Этот лист делится на листы карт более крупного масштаба:


Для Беларуси и соседних стран разграфка такова:

Для определения по топографической карте положения точки на карту наносят сетку прямоугольных координат X и Y , выраженных в километрах. Она образована системой линий, параллельных изображению осевого меридиана зоны (вертикальные линии сетки, оси X ) и перпендикулярных к нему (горизонтальные линии сетки, оси Y ).
На карте масштаба 1:200 000 расстояние между линиями сетки составляет 4 км; на карте масштаба 1:100 000 - 2 км.
Координата X подписывается на вертикальных краях листа карты и выражает расстояние до экватора, а координата Y подписывается на горизонтальных краях листа карты и состоит из номера зоны (первые одна или две цифры значения) и положения точки относительно центрального меридиана зоны (последние три цифры значения, причем центральному меридиану зоны присваивается значение 500 км).


фрагмент листа N36-123 советской топографической карты масштаба 1:100 000

Например, на вышеприведенном фрагменте карты надпись 6366 возле вертикальной линии сетки означает: 6 — 6-я зона, 366 — расстояние в километрах от осевого меридиана, условно перенесенного западнее на 500 км, а надпись 5804 возле горизонтальной линии сетки означает расстояние от экватора в километрах.

Универсальная поперечная проекция Меркатора

Универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM ) была разработана инженерными войсками США (United States Army Corps of Engineers ) в 1940-х годах.

Для построения карт в проекции UTM ранее использовался эллипсоид International 1924 — сетка UTM (International) , а в настоящее время — эллипсоид WGS84 — сетка UTM (WGS84) .
В этой проекции зоны нумеруются с запада на восток, начиная с меридиана 180°.
Эта система используется вооруженными силами США и НАТО (англ. United States and NATO armed forces ):

Каждая зона разделена на горизонтальные полосы через каждые 8° широты. Эти полосы обозначены буквами, с юга на север, начиная от буквы C для широты 80° S и заканчивая буквой X для широты 84° N . Буквы I и O пропущены для избежания путаницы с цифрами 1 и 0. Полоса, помеченная буквой X , занимает 12° по широте.
Зона в этой проекции обозначается номером (англ. longitude zone ) и буквой (каналом широты, англ. latitude zone ):


На этом рисунке видны две нестандартные зоны долготы — зона 32V расширена для покрытия всей южной Норвегии, а зона 31V сокращена для покрытия только водного пространства.
Для Гомеля и окрестностей зона обозначается как 36U с центральным меридианом 33°:

Зона покрывается прямоугольной (километровой) сеткой (сеткой по универсальной поперечной проекции Меркатора, СУППМ):


Длина стороны квадрата сетки в вышеприведенном фрагменте карты составляет 10 км.

Точка начала системы координат для каждой зоны определяется пересечением экватора и центрального меридиана зоны.
Координата E (Easting ) на такой сетке представляет собой расстояние на карте от центрального меридиана в метрах (к востоку — положительное, к западу — отрицательное), к которому прибавлено + 500 000 метров (англ. False Easting
Координата N (Northing ) на такой сетке представляет собой расстояние на карте от экватора в метрах (к северу — положительное, к югу — отрицательное), причем в южном полушарии это расстояние вычитается из 10 000 000 метров (англ. False Northing ) для избежания появления отрицательных значений.
Например, для левого нижнего угла квадрата сетки на вышеприведенной карте координаты записываются как
36U (либо 36+ ) 380000 5810000 ,
где 36 — longitude zone , U — latitude zone , 380000 — easting , 5810000 — northing .

Преобразование широты и долготы в координаты UTM поясняется рисунком:

P — рассматриваемая точка
F — точка пересечения перпендикуляра, опущенного на центральный меридиан из точки P , с центральным меридианом (точка на центральном меридиане с тем же самым northing , что и рассматриваемая точка P ) . Широта точки F (англ. footprint latitude ) обозначается как $\phi ‘ $ .
O — экватор
OZ — центральный меридиан
LP — параллель точки P
ZP — меридиан точки P
OL = k 0 S — дуга меридиана от экватора
OF = N — northing
FP = E — easting
GN — направление на север сетки карты (англ. grid north )
C — угол схождения меридианов (англ. convergence of meridians ) — угол между направлением на истинный север (англ. true north ) и на север сетки карты

При преобразовании прямоугольных координат (X , Y ) для проекции Гаусса-Крюгера на эллипсоиде WGS84 в прямоугольные координаты (N , E ) для универсальной поперечной проекции Меркатора на том же эллипсоиде WGS84 необходимо учитывать масштабный коэффициент (англ. scale factor ) $k_0 = 0,9996 $ :
$ N = X \cdot k_0 $ ;
$ E = Y_0 + Y \cdot k_0 $ ,
где $ Y_0 = 500 000 $ метров.

Указанный масштабный коэффициент $k_0 = 0,9996 $ верен только для центрального меридиана зоны. При удалении от осевого меридиана масштабный коэффициент изменяется.

Примечание. Погрешность считывания координат с карты (georeferencing accuracy ) обычно принимается равной ±0,2 мм. Именно такую точность имеют устройства, применяемые при создании аналоговой карты.

Геоид

Следует отметить, что более точным приближением поверхности нашей планеты является геоид (англ. geoid ) — эквипотенциальная поверхность земного поля тяжести, т. е. поверхность геоида везде перпендикулярна линии отвеса. Но сила тяжести определяется векторной суммой гравитационной силы со стороны Земли и центробежной силы, связанной с вращением Земли, поэтому потенциал силы тяжести не совпадает с чисто гравитационным потенциалом .
Геоид совпадает со средним уровнем Мирового океана, относительно которого ведется отсчет высот над уровнем моря .
Геоид имеет сложную форму, отражающую распределение масс внутри Земли, и поэтому для решения геодезических задач геоид заменяется эллипсоидом вращения. Наиболее современной математической моделью геоида является EGM2008 , пришедшая на смену популярной модели EGM96 .

Продолжение следует.

Посмотрело: 9 375

Равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора - основная и одна из первых картографических проекций. Одна из первых, так является второй в использовании. До ее появления пользовались равнопромежуточной проекцией или географической проекцией Марниуса Тирского, впервые предложенной в 100-м году до нашей эры (2117 лет назад). Данная проекция являлась не равновеликой ни равноугольной. Относительно точными на этой проекции, получались координаты мест наиболее ближе расположенных к экватору.

Разработана Герардом Меркатором в 1569 году для составления карт, которые публиковались в его «Атласе ». Название проекции «равноугольная » означает, что проекция сохраняет углы между направлениями, известные как постоянные курсы или румбовые углы. Все кривые на поверхности Земли в равноугольной цилиндрической проекции Меркатора изображаются прямыми линиями .

"... Картографическая проекция UTM была разработана в период с 1942 - 1943 годы в германском Вермахте. Ее разработка и появление, вероятно, осуществлялось в Abteilung für Luftbildwesen (Департаменте аэрофотосъемки) Германии... c 1947 года армия США использовала очень похожую систему, но со стандартным коэффициентом масштаба 0,9996 на центральном меридиане, в отличие от немецкого 1,0.

Немного теории (и истории) о равноугольной цилиндрической проекции Меркатора

В проекции Меркатора меридианы являются параллельными равноотстоящими линиями. Параллели представляют собой параллельные линии, расстояние между которыми вблизи экватора равно расстоянию между меридианами с увеличением при приближении к полюсам. Таким образом, масштаб искажений к полюсам становится бесконечным, по этой причине Южный и Северный полюса не изображаются на проекции Меркатора. Карты в проекции Меркатора ограничиваются областями 80° ‒ 85° северной и южной широты.

"Универсальная равноугольная поперечная проекция Меркатора (UTM) использует 2-х мерную декартову систему координат... то есть, она используется для определения местоположения на Земле, независимо от высоты места...

Все линии постоянных курсов (или румбов) на картах Меркатора представляются прямыми сегментами. Два свойства: равноугольность и прямые линии румбов, делают эту проекцию уникально подходящей для применения в морской навигации: курсы и направление измеряются с помощью розы ветров или транспортира, а соответствующие направления легко переносятся от точки к точке на карте с помощью параллельной линейки или парой навигационных транспортиров для вычерчивания линий.

Название и разъяснение определенное Меркатором на его карте мира Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata: «Новое, дополненное и исправленное описание Земли для применения моряками » указывает на то, что она специально была задумана для использования в морском судоходстве.

Поперечная проекция Меркатора.

Хотя метод построения проекции не объясняется автором, Меркатор, вероятно, использовал графический метод, передавая некоторые линии румбов ранее нанесенные на земном шаре к прямоугольной сетке координат (сетки, образованной линиями широты и долготы), а затем отрегулировал расстояние между параллелями так, что эти линии стали прямыми, что создавало один и тот же угол с меридианом, как на глобусе.

Разработка картографической равноугольной проекции Меркатора представляло собой крупный прорыв в морской картографии XVI века. Тем не менее, ее появление намного опережало свое время, так как старые навигационные и геодезические методы не были совместимы с ее использованием в навигации.

Две основные проблемы мешали ее немедленному применению: невозможность определения долготы на море с достаточной точностью, и тот факт, что в морской навигации использовались магнитные, а не географические направления. Только спустя почти 150 лет, в середине XVIII века, после того, как был изобретен морской хронометр, и стало известно пространственное распределение магнитного склонения, картографическая равноугольная проекция Меркатора была полностью принята в морской навигации.

Картографическая равноугольная проекция Гаусса-Крюгера является синонимом к поперечной проекции Меркатора, но в проекции Гаусса-Крюгера цилиндр разворачивается не вокруг экватора (как в проекции Меркатора), а вокруг одного из меридианов. Результатом является равноугольная проекция, которая не сохраняет правильные направления.

Центральный меридиан находится в том регионе, который может быть выбран. По центральному меридиану искажения всех свойств объектов региона минимальные. Эта проекция наиболее подходит для картографирования территорий, протяженных с севера на юг. Система координат Гаусса-Крюгера основывается на проекции Гаусса-Крюгера.

Картографическая проекция Гаусса-Крюгера полностью аналогична универсальной поперечной проекции Меркатора, ширина зон в проекции Меркатора составляет 6°, тогда как в проекции Гаусса-Крюгера ширина зон составляет 3°. Проекцией Меркатора удобно пользоваться морякам, проекцией Гаусса-Крюгера сухопутным войскам в ограниченных территориях Европы и Южной Америки. Кроме того, проекция Меркатора 2-х мерная точность определения широты и долготы по карте не зависит от высоты места, тогда как проекция Гаусса-Крюгера - 3-х мерная, и точность определения широты и долготы находится в постоянной зависимости от высоты места.

До окончания Второй мировой войны данная картографическая проблема стояла особенно остро, так как она усложняла вопросы взаимодействия между флотом и сухопутными войсками при ведении совместных действий.

Экваториальная проекция Меркатора.

Можно ли объединить две эти системы в одну? Можно, что и было произведено в Германии в период с 1943 по 1944 годы.

Универсальная равноугольная поперечная проекция Меркатора (UTM) использует 2-х мерную декартову систему координат, чтобы предоставлять определение места на поверхности Земли. Подобно традиционным методом широты и долготы, она представляет горизонтальное положение, то есть, она используется для определения местоположения на Земле, независимо от высоты места.

История появления и развития картографической проекции UTM

Однако, она отличается от этого метода в нескольких отношениях. Система UTM не просто проекция карты. Система UTM делит Землю на шестьдесят зон, каждая из которых имеет шесть градусов долготы, и использует пересекающуюся поперечную проекцию Меркатора в каждой зоне.

Большинство американских вышедших публикаций не указывают на первоисточник системы UTM. Вебсайт NOAA, утверждает, что система была разработана Инженерным корпусом армии США, и опубликованный материал, который не утверждает происхождение, по-видимому, основывается на этой оценке.

"Искажение масштаба возрастает в каждой зоне UTM когда границы между зонами UTM приближаются. Тем не менее, часто бывает удобно или необходимо, измерить ряд местоположений в одной координатной сетке, когда некоторые из них расположены в двух соседних зонах...

Тем не менее, серия аэрофотоснимков найденных в Bundesarchiv-Militärarchiv (военной части Федерального архива Германии) по всей видимости, начиная с 1943 - 1944 годах имеют надпись UTMREF логически вытекаемые координатные буквы и цифры, а также отображаемую в соответствии с поперечной проекцией Меркатора. Эта находка великолепно указывает на то, что картографическая проекция UTM была разработана в период с 1942 - 1943 годы в германском Вермахте. Ее разработка и появление, вероятно, осуществлялось в Abteilung für Luftbildwesen (Департаменте аэрофотосъемки) Германии. В дальнейшем с 1947 года армия США использовала очень похожую систему, но со стандартным коэффициентом масштаба 0,9996 на центральном меридиане, в отличие от немецкого 1,0.

Для областей в пределах Соединенных Штатов использовался эллипсоид Clarke 1866 года. Для остальных районов Земли, в том числе для Гавайев использовался Международный эллипсоид. Эллипсоид WGS84 теперь обычно используется для моделирования Земли в системе координат UTM, означающее, что текущая ордината UTM в данной точке может отличаться до 200 метров от старой системы. Для разных географических регионов, например: ED50, NAD83 могут быть использованы и другие системы координат.

До разработки универсальной поперечной системы координат проекции Меркатора, некоторые европейские страны продемонстрировали полезность координатной сетки на основе конформных отображений (сохраняющих локальные углы) картографии для их территорий в межвоенный период.

Расчет расстояний между двумя точками на этих картах мог быть выполнен легко в полевых условиях (используя теорему Пифагора), в сравнении с возможным использованием тригонометрических формул, требуемых в соответствии с координатной сетки на основе системы широты и долготы. В послевоенные годы, эти концепции были расширены в Универсальной поперечной проекции Меркатора/Универсальная полярной стереографической системе координат (UTM/UPS), которая является глобальной (или универсальной) системой координат.

Поперечная проекция Меркатора представляет собой вариант проекции Меркатора, которая первоначально была разработана фламандским географом и картографом Герардом Меркатором в 1570 году. Эта проекция является конформной, означающей, что сохраняются углы и, следовательно, позволяет формировать небольшие регионы. Тем не менее, она искажает расстояние и площадь.

Система UTM делит Землю между 80° южной широты и 84° северной широты на 60 зон, каждая зона равна 6 ° долготы в ширину. Зона 1 охватывает долготы от 180° до 174° W (западной долготы); зона нумерации увеличивается в восточном направлении к зоне 60, которая охватывает долготы от 174° до 180° E (восточной долготы).

Каждый из 60 зон использует поперечную проекцию Меркатора, которая может сопоставить область большей степени север-юг с низким уровнем искажений. Используя узкие зоны 6° долготы (до 800 км) в ширину, и уменьшая масштабный коэффициент вдоль центрального меридиана 0,9996 (сокращение 1: 2500), величина искажения удерживается ниже 1-й части 1000 в внутри каждой зоны. Искажение масштаба возрастает до 1,0010 на границах зоны вдоль экватора.

В каждой зоне масштабный фактор центрального меридиана уменьшает диаметр поперечного цилиндра для получения пересекающейся проекции с двумя стандартными линиями или линиями истинного масштаба, около 180 км на каждой стороне, и примерно параллельны центральному меридиану (Arc cos 0,9996 = 1,62° на экваторе). Шкала меньше 1 внутри стандартных линий и больше 1 за их пределами, но общее искажение сведено к минимуму.

Искажение масштаба возрастает в каждой зоне UTM когда границы между зонами UTM приближаются. Тем не менее, часто бывает удобно или необходимо, измерить ряд местоположений в одной координатной сетке, когда некоторые из них расположены в двух соседних зонах.

Вокруг границ крупномасштабных карт (1: 100 000 или более) координаты для обоих примыкающих зонах UTM обычно печатаются в пределах минимального расстояния 40 км по обе стороны от границы зоны. В идеале, координаты каждой позиции должны быть измерены на координатной сетке для зоны, в которой они расположены, а масштабный коэффициент все еще относительно небольших границ ближней зоны можно перекрывать измерениями в соседнюю зону на некоторое расстояние, когда это необходимо.

Полосы Широт не являются частью системы UTM, а скорее частью опорной военной системы координат (MGRS). Они, однако, иногда используются.

Эллипсоидная проекция Меркатора.

Каждая зона сегментирована на 20 широтных полос. Каждая широтная полоса в высоту 8 градусов, и начинается литерными буквами с «C » при 80°S (южной широты), увеличиваясь по английскому алфавиту до буквы «X », пропуская буквы «I » и «O » (из-за их сходства с цифрами единицы и ноль). Последняя широта диапазона, «X », продлевается дополнительно на 4 градуса, так что она заканчивается на 84° северной широты, охватывая, таким образом, самую северную часть на Земле.

Заключение о картографической проекции (UTM/UPS) Меркатора

Широта полосы «A » и «B » действительно существуют, как и полосы «Y » и «Z ». Они охватывают западную и восточную стороны антарктических и арктических регионов соответственно. Удобно мнемонически помнить, что любая буква, стоящая перед «N » в алфавитном порядке - зона находится в южном полушарии, а любая буква после буквы «N » - когда зона находится в северное полушарие.

Сочетание зоны и широтной полосы - определяет зону координатной сетки. Зона всегда записывается первой, а затем широтная полоса. Например, положение в Торонто, Канаде, окажется в зоне 17-й и широтной зоне «Т », таким образом, полная ссылка зона координатной сетки «17Т ». Зоны координатной сетки служат для определения границ нерегулярных UTM зон. Они также являются неотъемлемой частью эталонной сетки военной системы координат. Метод также используется, чтобы просто добавлять N или S после номера зоны, чтобы указать северное или южное полушарие (к плановым ординатам координат вместе с номером зоны все необходимое для определения позиции, за исключения, на каком полушарии).

Посмотрите на эту карту и скажите, какая территория больше по площади: Гренландия, помеченная белым, или Австралия, помеченная оранжевым? Кажется, что Гренландия больше Австралии раза в три по крайней мере.

Но, заглянув в справочник, мы к своему удивлению прочитаем, что площадь Австралии составляет 7,7 млн км 2 , а площадь Гренландии - только 2,1 млн км 2 . Так что Гренландия кажется такой большой только на нашей карте, а в действительности она меньше Австралии примерно в три с половиной раза. Сравнивая эту карту с глобусом, можно заметить, что чем дальше от экватора находится территория, тем сильнее она растянута.

Карта, которую мы с вами рассматриваем, построена с помощью картографической проекции, которую придумал в XVI веке фламандский учёный Герард Меркатор . Он жил в эпоху, когда прокладывались новые торговые пути через океаны. Колумб открыл Америку в 1492 году, а первое кругосветное плавание под руководством Магеллана состоялось в 1519–1522 годах - когда Меркатору было 10 лет. Открытые земли надо было наносить на карты, а для этого надо было научиться изображать на плоской карте круглую Землю. И карты надо было делать такими, чтобы капитанам было удобно ими пользоваться.

А как капитан пользуется картой? Он прокладывает по ней курс. Мореплаватели XIII–XVI века пользовались портуланами - картами, на которых изображался бассейн Средиземного моря, а также лежащие за Гибралтаром побережья Европы и Африки. На такие карты была нанесена сетка румбов - линий постоянного направления. Пусть капитану нужно проплыть в открытом море от одного острова до другого. Он прикладывает к карте линейку, определяет курс (например, «на юго-юго-восток») и отдаёт рулевому приказ держать этот курс по компасу.

Идея Меркатора состояла в том, чтобы сохранить принцип прокладки курса по линейке и на карте мира. То есть, если держать по компасу постоянное направление, то путь на карте будет прямой. Но как это сделать? И здесь на помощь картографу приходит математика. Мысленно разрежем глобус на узкие полоски по меридианам, как показано на рисунке. Каждую такую полоску можно без особых искажений развернуть на плоскости, после чего она превратится в треугольную фигуру - «клин» с искривлёнными боковыми сторонами.

Однако глобус при этом оказывается рассечённым, а карта должна быть сплошной, без разрезов. Чтобы этого добиться, разделим каждый клин на «почти квадраты». Для этого из нижней левой точки клина проведём отрезок под углом 45° до правой стороны клина, оттуда проведём горизонтальный разрез до левой стороны клина - отрезали первый квадрат. Из точки, где кончается сделанный разрез, снова проведём отрезок под углом 45° до правой стороны, потом горизонтальный - до левой, отрезая следующий «почти квадрат», и так далее. Если исходный клин был очень узким, «почти квадраты» будут отличаться от настоящих квадратов совсем незначительно, поскольку их боковые стороны будут почти вертикальными.

Выполним завершающие действия. Выпрямим «почти квадраты» до настоящей квадратной формы. Как мы поняли, искажения при этом можно сделать сколь угодно малыми, уменьшая ширину клиньев, на которые мы режем глобус. Квадраты, прилежавшие на глобусе к экватору, выложим в ряд. На них уложим по порядку все остальные квадраты, растянув их перед этим до размеров приэкваториальных квадратов. Получится сетка из квадратов одного размера. Правда, при этом параллели, равноотстоящие на карте, уже не будут равноотстоящими на глобусе. Ведь чем дальше исходный квадрат на глобусе отстоял от экватора, тем большему увеличению он подвергся при переносе на карту.

Однако углы между направлениями при таком построении останутся неискажёнными, потому что каждый квадрат практически только изменился в масштабе, а направления при простом увеличении картинки не меняются. И именно этого добивался Меркатор, когда он придумывал свою проекцию! Капитан может прокладывать свой курс на карте по линейке и вести по этому курсу свой корабль. При этом корабль будет плыть по линии, идущей под одним и тем же углом ко всем меридианам. Эта линия называется локсодромией .

Плавание по локсодромии очень удобно, поскольку оно не требует никаких специальных расчётов. Правда, локсодромия не является кратчайшей линией между двумя пунктами на земной поверхности. Такую кратчайшую линию можно определить, натянув на глобусе нитку между этими пунктами.

Художник Евгений Паненко