Классическое определение вероятности случайного события. Случайные события и их вероятности

Глава I . СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ

1.1. Закономерность и случайность, случайная изменчивость в точных науках, в биологии и медицине

Теория вероятностей – область математики, изучающая закономерности в случайных явлениях. Случайное явление – это явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта может протекать каждый раз несколько по-иному.

Очевидно, что в природе нет ни одного явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности, но в различных ситуациях мы учитываем их по-разному. Так, в ряде практических задач ими можно пренебречь и рассматривать вместо реального явления его упрощенную схему – «модель», предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. При этом выделяются самые главные, решающие факторы, характеризующие явление. Именно такая схема изучения явлений чаще всего применяется в физике, технике, механике; именно так выявляется основная закономерность, свойственная данному явлению и дающая возможность предсказать результат опыта по заданным исходным условиям. А влияние случайных, второстепенных, факторов на результат опыта учитывается здесь случайными ошибками измерений (методику их расчета рассмотрим далее).

Однако описанная классическая схема так называемых точных наук плохо приспособлена для решения многих задач, в которых многочисленные, тесно переплетающиеся между собой случайные факторы играют заметную (часто определяющую) роль. Здесь на первый план выступает случайная природа явления, которой уже нельзя пренебречь. Это явление необходимо изучать именно с точки зрения закономерностей, присущих ему как случайному явлению. В физике примерами таких явлений являются броуновское движение, радиоактивный распад, ряд квантово-механических процессов и др.

Предмет изучения биологов и медиков – живой организм, зарождение, развитие и существование которого определяется очень многими и разнообразными, часто случайными внешними и внутренними факторами. Именно поэтому явления и события живого мира во многом тоже случайны по своей природе.

Элементы неопределенности, сложности, многопричинности, присущие случайным явлениям, обусловливают необходимость создания специальных математических методов для изучения этих явлений. Разработка таких методов, установление специфических закономерностей, свойственных случайным явлениям, –главные задачи теории вероятностей. Характерно, что эти закономерности выполняются лишь при массовости случайных явлений. Причем индивидуальные особенности отдельных случаев как бы взаимно погашаются, а усредненный результат для массы случайных явлений оказывается уже не случайным, а вполне закономерным. В значительной мере данное обстоятельство явилось причиной широкого распространения вероятностных методов исследования в биологии и медицине.

Рассмотрим основные понятия теории вероятностей.

1.2. Вероятность случайного события

Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, базируется на ряде основных понятий. Например, в геометрии – это понятия точки, прямой линии; в механике – понятия силы, массы, скорости и т. д. Основные понятия существуют и в теории вероятностей, одно из них – случайное событие.

Случайное событие – это всякое явление (факт), которое в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти.

Случайные события обозначаются буквами А, В, С … и т. д. Приведем несколько примеров случайных событий:

А –выпадение орла (герба) при подбрасывании стандартной монеты;

В – рождение девочки в данной семье;

С – рождение ребенка с заранее заданной массой тела;

D – возникновение эпидемического заболевания в данном регионе в определенный период времени и т. д.

Основной количественной характеристикой случайного события является его вероятность. Пусть А – какое-то случайное событие. Вероятность случайного события А – это математическая величина, которая определяет возможность его появления. Она обозначается Р (А ).

Рассмотрим два основных метода определения данной величины.

Классическое определение вероятности случайного события обычно базируется на результатах анализа умозрительных опытов (испытаний), суть которых определяется условием поставленной задачи. При этом вероятность случайного события Р(А) равна:

где m – число случаев, благоприятствующих появлению события А ; n – общее число равновозможных случаев.

Пример 1. Лабораторная крыса помещена в лабиринт, в котором лишь один из четырех возможных путей ведет к поощрению в виде пищи. Определите вероятность выбора крысой такого пути.

Решение : по условию задачи из четырех равновозможных случаев (n =4) событию А (крыса находит пищу)
благоприятствует только один, т. е. m = 1 Тогда Р (А ) = Р (крыса находит пищу) = = 0,25= 25%.

Пример 2. В урне 20 черных и 80 белых шаров. Из нее наугад вынимается один шар. Определите вероятность того, что этот шар будет черным.

Решение : количество всех шаров в урне – это общее число равновозможных случаев n , т. е. n = 20 + 80 = 100, из них событие А (извлечение черного шара) возможно лишь в 20, т. е. m = 20. Тогда Р (А ) = Р (ч. ш.) = = 0,2 = 20%.

Перечислим свойства вероятности следующие из ее классического определения – формула (1):

1. Вероятность случайного события – величина безразмерная.

2. Вероятность случайного события всегда положительна и меньше единицы, т. е. 0 < P (A ) < 1.

3. Вероятность достоверного события, т. е. события, которое в результате опыта обязательно произойдет (m = n ), равна единице.

4. Вероятность невозможного события (m = 0) равна нулю.

5. Вероятность любого события – величина не отрицательная и не превышающая единицу:
0 £ P (A ) £ 1.

Статистическое определение вероятности случайного события применяется тогда, когда невозможно использоватьклассическое определение (1). Это часто имеет место в биологии и медицине. В таком случае вероятность Р (А ) определяют путем обобщения результатов реально проведенных серий испытаний (опытов).

Введем понятие относительной частоты появления случайного события. Пусть была проведена серия, состоящая из N опытов (число N может быть выбрано заранее); интересующее нас событие А произошло в М из них (M < N ). Отношение числа опытов М , в которых произошло это событие, к общему числу проведенных опытов N называют относительной частотой появления случайного события А в данной серии опытов – Р * (А )

Р* (А ) = .

Экспериментально установлено, что если серии испытаний (опытов) проводятся в одинаковых условиях и в каждой из них число N достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости: от серии к серии она меняется мало, приближаясь c увеличением числа опытов к некоторой постоянной величине. Ее и принимают за статистическую вероятность случайного события А :

Р (А) = lim , при N , (2)

Итак, статистической вероятностью Р (А ) случайного события А называют предел, к которому стремится относительная частота появления этого события при неограниченном возрастании числа испытаний (при N → ∞).

Приближенно статистическая вероятность случайного события равна относительной частоте появления этого события при большом числе испытаний:

Р (А ) ≈ Р* (А ) = (при больших N ) (3)

Например, в опытах по бросанию монеты относительная частота выпадения герба при 12000 бросаний оказалась равной 0,5016, а при 24000 бросаний – 0,5005. В соответствии с формулой (1):

P (герб) = = 0,5 = 50%

Пример. При врачебном обследовании 500 человек у 5 из них обнаружили опухоль в легких (о. л.). Определите относительную частоту и вероятность этого заболевания.

Решение : по условию задачи М = 5, N = 500, относительная частота Р *(о. л.) = М /N = 5/500 = 0,01; поскольку N достаточно велико, можно с хорошей точностью считать, что вероятность наличия опухоли в легких равна относительной частоте этого события:

Р (о. л.) = Р *(о. л.) = 0,01 = 1%.

Перечисленные ранее свойства вероятности случайного события сохраняются и при статистическом определении данной величины.

1.3. Виды случайных событий. Основные теоремы теории вероятностей

Все случайные события можно разделить на:

¾ несовместные;

¾ независимые;

¾ зависимые.

Для каждого вида событий характерны свои особенности и теоремы теории вероятностей.

1.3.1. Несовместные случайные события. Теорема сложения вероятностей

Случайные события (А, В, С, D …) называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример1. Подброшена монета. При ее падении появление «герба» исключает появление «решки» (надписи, определяющей цену монеты). События «выпал герб» и «выпала решка» несовместные.

Пример 2. Получение студентом на одном экзамене оценки «2», или «3», или «4», или «5» – события несовместные, так как одна из этих оценок исключает другую на том же экзамене.

Для несовместных случайных событий выполняется теорема сложения вероятностей: вероятность появления одного, но все равно какого, из нескольких несовместных событий А1, А2, А3 … А k равна сумме их вероятностей:

Р(А1или А2 … или А k ) = Р(А1) + Р(А2) + …+ Р(А k ). (4)

Пример 3. В урне находится 50 шаров: 20 белых, 20 черных и 10 красных. Найдите вероятность появления белого (событие А ) или красного шара (событие В ), когда шар наугад достают из урны.

Решение: Р (А или В ) = Р (А ) + Р (В );

Р (А ) = 20/50 = 0,4;

Р (В ) = 10/50 = 0,2;

Р (А или В ) = Р (б. ш. или к. ш.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.

Пример 4. В классе 40 детей. Из них в возрасте от 7 до 7,5 лет 8 мальчиков (А ) и 10 девочек (В ). Найдите вероятность присутствия в классе детей такого возраста.

Решение: Р (А ) = 8/40 = 0,2; Р (В ) = 10/40 = 0,25.

Р(А или В) = 0,2 + 0,25 = 0,45 = 45%

Следующее важное понятие – полная группа событий: несколько несовместных событий образуют полную группу событий, если в результате каждого испытания может появляться только одно из событий этой группы и никакое другое.

Пример 5. Стрелок произвел выстрел по мишени. Обязательно произойдет одно из следующих событий: попадание в «десятку», в «девятку», в «восьмерку»,.. ,в «единицу» или промах. Эти 11 несовместных событий образуют полную группу.

Пример 6. На экзамене в Вузе студент может получить одну из следующих четырех оценок: 2, 3, 4 или 5. Эти четыре несовместных события также образуют полную группу.

Если несовместные события А1, А2 … А k образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий всегда равна единице:

Р (А1 ) + Р (А2 )+ … Р (А k ) = 1, (5)

Это утверждение часто используется при решении многих прикладных задач.

Если два события единственно возможны и несовместны, то их называют противоположными и обозначают А и . Такие события составляют полную группу, поэтому сумма их вероятностей всегда равна единице:

Р (А ) + Р () = 1. (6)

Пример 7. Пусть Р (А ) – вероятность летального исхода при некотором заболевании; она известна и равна 2%. Тогда вероятность благополучного исхода при этом заболевании равна 98% (Р () = 1 – Р (А ) = 0,98), так как Р (А ) + Р () = 1.

1.3.2. Независимые случайные события. Теорема умножения вероятностей

Случайные события называются независимыми, если появление одного из них никак не влияет на вероятность появления других событий.

Пример 1. Если есть две или более урны с цветными шарами, то извлечение какого-либо шара из одной урны никак не повлияет на вероятность извлечения других шаров из оставшихся урн.

Для независимых событий справедлива теорема умножения вероятностей: вероятность совместного (одновременного ) появления нескольких независимых случайных событий равна произведению их вероятностей:

Р(А1и А2 и А3 … и А k ) = Р(А1) ∙Р(А2) ∙…∙Р(А k ). (7)

Совместное (одновременное) появление событий означает, что происходят события и А1, и А2 , и А3 … и А k .

Пример 2. Есть две урны. В одной находится 2 черных и 8 белых шаров, в другой – 6 черных и 4 белых. Пусть событие А –выбор наугад белого шара из первой урны, В – из второй. Какова вероятность выбрать наугад одновременно из этих урн по белому шару, т. е. чему равна Р (А и В )?

Решение: вероятность достать белый шар из первой урны
Р (А ) = = 0,8 из второй – Р (В ) = = 0,4. Вероятность одновременно достать по белому шару из обеих урн –
Р (А и В ) = Р (А )·Р (В ) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

Пример 3. Рацион с пониженным содержанием йода вызывает увеличение щитовидной железы у 60% животных большой популяции. Для эксперимента нужны 4 увеличенных железы. Найдите вероятность того, что у 4 случайно выбранных животных будет увеличенная щитовидная железа.

Решение : Случайное событие А – выбор наугад животного с увеличенной щитовидной железой. По условию задачи вероятность этого события Р (А ) = 0,6 = 60%. Тогда вероятность совместного появления четырех независимых событий – выбор наугад 4 животных с увеличенной щитовидной железой – будет равна:

Р (А 1 и А 2 и А 3 и А 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)4 ≈ 0,13 = 13%.

1.3.3. Зависимые события. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий

Случайные события А и В называются зависимыми, если появление одного из них, например, А изменяет вероятность появления другого события – В. Поэтому для зависимых событий используются два значения вероятности: безусловная и условная вероятности.

Если А и В зависимые события, то вероятность наступления события В первым (т. е. до события А ) называется безусловной вероятностью этого события и обозначается Р (В ). Вероятность наступления события В при условии, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р (В /А ) или РА (В).

Аналогичный смысл имеют безусловная – Р (А ) и условная – Р (А/В ) вероятности для события А.

Теорема умножения вероятностей для двух зависимых событий: вероятность одновременного наступления двух зависимых событий А и В равна произведению безусловной вероятности первого события на условную вероятность второго:

Р (А и В ) = Р (А ) ∙Р (В/А ) , (8)

А , или

Р (А и В ) = Р (В ) ∙Р (А/В), (9)

если первым наступает событие В .

Пример 1. В урне 3 черных шара и 7 белых. Найдите вероятность того, что из этой урны один за другим (причем первый шар не возвращают в урну) будут вынуты 2 белых шара.

Решение : вероятность достать первый белый шар (событие А ) равна 7/10. После того как он вынут, в урне остается 9 шаров, из них 6 белых. Тогда вероятность появления второго белого шара (событие В ) равна Р (В /А ) = 6/9, а вероятность достать подряд два белых шара равна

Р (А и В ) = Р (А )∙Р (В /А ) = = 0,47 = 47%.

Приведенная теорема умножения вероятностей для зависимых событий допускает обобщение на любое количество событий. В частности, для трех событий, связанных друг с другом:

Р (А и В и С ) = Р (А ) ∙ Р (В/А ) ∙ Р (С/АВ ). (10)

Пример 2. В двух детских садах, каждый из которых посещает по 100 детей, произошла вспышка инфекционного заболевания. Доли заболевших составляют соответственно 1/5 и 1/4, причем в первом учреждении 70 %, а во втором – 60 % заболевших – дети младше 3-х лет. Случайным образом выбирают одного ребенка. Определите вероятность того, что:

1) выбранный ребенок относится к первому детскому саду (событие А ) и болен (событие В ).

2) выбран ребенок из второго детского сада (событие С ), болен (событие D ) и старше 3-х лет (событие Е ).

Решение . 1) искомая вероятность –

Р (А и В ) = Р (А ) ∙ Р (В /А ) = = 0,1 = 10%.

2) искомая вероятность:

Р (С и D и Е ) = Р (С ) ∙ Р (D /C ) ∙ Р (Е /CD ) = = 5%.

1.4. Формула Байеса

Если вероятность совместного появления зависимых событий А и В не зависит от того, в каком порядке они происходят, то Р (А и В ) = Р (А ) ∙Р (В/А ) = Р (В ) × Р (А/В ). В этом случае условную вероятность одного из событий можно найти, зная вероятности обоих событий и условную вероятность второго:

Р (В/А ) = (11)

Обобщением данной формулы на случай многих событий является формула Байеса.

Пусть «n » несовместных случайных событий Н1, Н2, …, Н n , образуют полную группу событий. Вероятности этих событий – Р (Н1 ), Р (Н2 ), …, Р (Н n ) известны и так как они образуют полную группу, то = 1.

Некоторое случайное событие А связано с событиями Н1, Н2, …, Н n , причем известны условные вероятности появления события А с каждым из событий Н i , т. е. известны Р (А/Н1 ), Р (А/Н2 ), …, Р (А/Н n ). При этом сумма условных вероятностей Р (А/Н i ) может быть не равна единице т. е. ≠ 1.

Тогда условная вероятность появления события Н i при реализации события А (т. е. при условии, что событие А произошло) определяется формулой Байеса:

Причем для этих условных вероятностей .

Формула Байеса нашла широкое применение не только в математике, но и в медицине. Например, она используется для вычисления вероятностей тех или иных заболеваний. Так, если Н 1,…, Н n – предполагаемые диагнозы для данного пациента, А – некоторый признак, имеющий отношение к ним (симптом, определенный показатель анализа крови, мочи, деталь рентгенограммы и т. д.), а условные вероятности Р (А/Н i ) проявления этого признака при каждом диагнозе Н i (i = 1,2,3,…n ) заранее известны, то формула Байеса (12) позволяет вычислить условные вероятности заболеваний (диагнозов) Р (Н i /А ) после того как установлено, что характерный признак А присутствует у пациента.

Пример1. При первичном осмотре больного предполагаются 3 диагноза Н 1, Н 2, Н 3. Их вероятности, по мнению врача, распределяются так: Р (Н 1) = 0,5; Р (Н 2) = 0,17; Р (Н 3) = 0,33. Следовательно, предварительно наиболее вероятным кажется первый диагноз. Для его уточнения назначается, например, анализ крови, в котором ожидается увеличение СОЭ (событие А ). Заранее известно (на основании результатов исследований), что вероятности увеличения СОЭ при предполагаемых заболеваниях равны:

Р (А /Н 1) = 0,1; Р (А /Н 2) = 0,2; Р (А /Н 3) = 0,9.

В полученном анализе зафиксировано увеличение СОЭ (событие А произошло). Тогда расчет по формуле Байеса (12) дает значения вероятностей предполагаемых заболеваний при увеличенном значении СОЭ: Р (Н 1/А ) = 0,13; Р (Н 2/А ) = 0,09;
Р (Н 3/А ) = 0,78. Эти цифры показывают, что с учетом лабораторных данных наиболее реален не первый, а третий диагноз, вероятность которого теперь оказалась достаточно большой.

Приведенный пример – простейшая иллюстрация того, как с помощью формулы Байеса можно формализовать логику врача при постановке диагноза и благодаря этому создать методы компьютерной диагностики.

Пример 2. Определите вероятность, оценивающую степень риска перинатальной* смертности ребенка у женщин с анатомически узким тазом.

Решение : пусть событие Н 1 – благополучные роды. По данным клинических отчетов, Р (Н 1) = 0,975 = 97,5 %, тогда, если Н2 – факт перинатальной смертности, то Р (Н 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

Обозначим А – факт наличия узкого таза у роженицы. Из проведенных исследований известны: а) Р (А /Н 1) – вероятность узкого таза при благоприятных родах, Р (А /Н 1) = 0,029, б) Р (А /Н 2) – вероятность узкого таза при перинатальной смертности,
Р (А /Н 2) = 0,051. Тогда искомая вероятность перинатальной смертности при узком тазе у роженицы рассчитывается по формуле Байса (12) и равна:

Таким образом, риск перинатальной смертности при анатомически узком тазе значительно выше (почти вдвое) среднего риска (4,4 % против 2,5 %).

Подобные расчеты, обычно выполняемые с помощью компьютера, лежат в основе методов формирования групп пациентов повышенного риска, связанного с наличием того или иного отягощающего фактора.

Формула Байеса очень полезна для оценки многих других медико-биологических ситуаций, что станет очевидным при решении приведенных в пособии задач.

1.5. О случайных событиях с вероятностями близкими к 0 или к 1

При решении многих практических задач приходится иметь дело с событиями, вероятность которых очень мала, т. е. близка к нулю. На основании опыта в отношении таких событий принят следующий принцип. Если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании оно не наступит, иначе говоря, возможностью его появления можно пренебречь. Ответ на вопрос, насколько малой должна быть эта вероятность, определяется существом решаемых задач, тем, насколько важен для нас результат предсказания. Например, если вероятность того, что парашют при прыжке не раскроется равна 0,01, то применение таких парашютов недопустимо. Однако равная той же 0,01 вероятность того, что поезд дальнего следования прибудет с опозданием, делает нас практически уверенными в том, что он прибудет вовремя.

Достаточно малую вероятность, при которой (в данной конкретной задаче) событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике уровень значимости обычно принимают равным 0,01 (однопроцентный уровень значимости) или 0,05 (пятипроцентный уровень значимости), намного реже он берется равным 0,001.

Введение уровня значимости позволяет утверждать, что если некоторое событие А практически невозможно, то противоположное событие - практически достоверно, т. е. для него Р () » 1.

Глава II . СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

2.1. Случайные величины, их виды

В математике величина – это общее название различных количественных характеристик предметов и явлений. Длина, площадь, температура, давление и т. д. – примеры разных величин.

Величина, которая принимает различные числовые значения под влиянием случайных обстоятельств, называется случайной величиной . Примеры случайных величин: число больных на приеме у врача; точные размеры внутренних органов людей и т. д.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает только определенные отделенные друг от друга значения, которые можно установить и перечислить.

Примерами дискретной случайной величиной являются:

– число студентов в аудитории – может быть только целым положительным числом: 0,1,2,3,4….. 20…..;

– цифра, которая появляется на верхней грани при бросании игральной кости – может принимать лишь целые значения от 1 до 6;

– относительная частота попадания в цель при 10 выстрелах – ее значения: 0; 0,1; 0,2; 0,3 …1

– число событий, происходящих за одинаковые промежутки времени: частота пульса, число вызовов скорой помощи за час, количество операций в месяц с летальным исходом и т. д.

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любые значения внутри определенного интервала, который иногда имеет резко выраженные границы, а иногда – нет *. К непрерывным случайным величинам относятся, например, масса тела и рост взрослых людей, масса тела и объем мозга, количественное содержание ферментов у здоровых людей, размеры форменных элементов крови, р Н крови и т. п.

Понятие случайной величины играет определяющую роль в современной теории вероятностей, разработавшей специальные приемы перехода от случайных событий к случайным величинам.

Если случайная величина зависит от времени, то можно говорить о случайном процессе.

2.2. Закон распределения дискретной случайной величины

Чтобы дать полную характеристику дискретной случайной величины необходимо указать все ее возможные значения и их вероятности.

Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения этой величины.

Обозначим возможные значения случайной величины Х через х i , а соответствующие им вероятности – через р i *. Тогда закон распределения дискретной случайной величины можно задать тремя способами: в виде таблицы, графика или формулы.

В таблице, которая называется рядом распределения, перечисляются все возможные значения дискретной случайной величины Х и соответствующие этим значениям вероятности Р (Х ):

Х

…..

…..

P (X )

…..

…..

При этом сумма всех вероятностей р i должна быть равна единице (условие нормировки):

р i = p 1 + p 2 + ... + pn = 1. (13)

Графически закон представляется ломаной линией, которую принято называть многоугольником распределения (рис.1). Здесь по горизонтальной оси откладывают все возможные значения случайной величины х i , , а по вертикальной оси – соответствующие им вероятности р i

Аналитически закон выражается формулой. Например, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна р, то вероятность поражения цели 1 раз при n выстрелах дается формулой Р (n ) = n qn -1 × p , где q = 1 – р – вероятность промаха при одном выстреле.

2.3. Закон распределения непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятности

Для непрерывных случайных величин невозможно применить закон распределения в формах, приведенных выше, поскольку такая величина имеет бесчисленное («несчетное») множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый интервал. Поэтому составить таблицу, в которой были бы перечислены все ее возможные значения, или построить многоугольник распределения нельзя. Кроме того, вероятность какого-либо ее конкретного значения очень мала (близка к 0)*. Вместе с тем различные области (интервалы) возможных значений непрерывной случайной величины не равновероятны. Таким образом, и в данном случае действует некий закон распределения, хотя и не в прежнем смысле.

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х , возможные значения которой сплошь заполняют некий интервал (а , b )**. Закон распределения вероятностей такой величины должен позволить найти вероятность попадания ее значения в любой заданный интервал (х1, х2 ), лежащий внутри (а, b ), рис.2.

Эту вероятность обозначают Р (х1 < Х < х2 ), или
Р (х1 £ Х £ х2 ).

Рассмотрим сначала очень малый интервал значений Х – от х до (х + D х ); см. рис.2. Малая вероятность d Р того, что случайная величина Х примет какое-то значение из интервала (х, х + D х ), будет пропорциональна величине данного интервала D х: d Р ~ D х , или, введя коэффициент пропорциональности f , который сам может зависеть от х , получим:

d Р = f (х ) × Dх = f (x ) × dx (14)

Введенная здесь функция f (х ) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины Х, или, короче, плотностью вероятности , плотностью распределения . Уравнение (13) – дифференциальное уравнение, решение которого дает вероятность попадания величины Х в интервал (х1 , х2) :

Р (х1 < Х < х2 ) = f (х ) d х. (15)

Графически вероятность Р (х1 < Х < х2 ) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, кривой f (х ) и прямыми Х = х1 и Х = х2 (рис.3). Это следует из геометрического смысла определенного интеграла (15) Кривая f (х ) при этом называется кривой распределения.

Из (15) следует, что если известна функция f (х ), то, изменяя пределы интегрирования, можно найти вероятность для любых интересующих нас интервалов. Поэтому именно задание функции f (х ) полностью определяет закон распределения для непрерывных случайных величин.

Для плотности вероятности f (х ) должно выполняться условие нормировки в виде:

f (х ) d х = 1, (16)

если известно, что все значения Х лежат в интервале (а, b ), или в виде:

f (х ) d х = 1 , (17)

если границы интервала для значений Х точно неопределенны. Условия нормировки плотности вероятности (16) или (17) являются следствием того, что значения случайной величины Х достоверно лежат в пределах (а, b ) или (-¥, +¥). Из (16) и (17) следует, что площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, всегда равна 1.

2.4. Основные числовые характеристики случайных величин

Результаты, изложенные в параграфах 2.2 и 2.3, показывают, что полную характеристику дискретной и непрерывной случайных величин можно получить, зная законы их распределения. Однако во многих практически значимых ситуациях пользуются так называемыми числовыми характеристиками случайных величин, главное назначение этих характеристик – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения случайных величин. Важно, что данные параметры представляют собой конкретные (постоянные) значения, которые можно оценивать с помощью полученных в опытах данных. Этими оценками занимается «Описательная статистика».

В теории вероятностей и математической статистике используется достаточно много различных характеристик, но мы рассмотрим только наиболее употребляемые. Причем лишь для части из них приведем формулы, по которым рассчитываются их значения, в остальных случаях вычисления оставим компьютеру.

Рассмотрим характеристики положения – математическое ожидание, моду, медиану.

Они характеризуют положение случайной величины на числовой оси, т. е. указывают некоторое ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Среди них важнейшую роль играет математическое ожидание М (Х ).

В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями, исход которых невозможно предсказать, результат которых зависит от случая. Теория вероятностей – это раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении. Основное понятие теории вероятностей - вероятность события (относительная частота события) - объективная мера возможности осуществления данного события.

События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D. Перечислим основные виды случайных событий :

• события называются несовместными , если никакие два из них не могут произойти в данном испытании (опыте) вместе. Например, при подбрасывании монеты появление цифры исключает одновременное появление герба;
• два события называются совместными , если появление одного из них не исключает появление другого события в том же испытании (опыте);
• событие называется достоверным , если оно происходит в данном испытании обязательно. Например, выигрыш по билету беспроигрышной лотереи есть событие достоверное;
• событие называется невозможным , если оно в данном испытании не может произойти. Например, при бросании игральной кости невозможно получить 7 очков;
• два события называются противоположными (А и А̄), если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1;
• событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В: Р А (В)= Р(В). В противном случае событие В называется зависимым от события А;

Полной системой событий А 1 , А 2 , А 3 , …, Аn называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании (опыте).

Каждому событию A ставится в соответствие некоторая мера P(A), которая называется вероятностью этого события и которая удовлетворяет следующим аксиомам:

• для любого события 0 ≤ P(A) ≤ 1;
• вероятность невозможного события равна нулю, P(А)=0;
• вероятность достоверного события равна единице, Р(А)=1.

Существует классический и геометрический способы подсчета вероятности события.

При классическом способе подсчета вероятность события А вычисляется по формуле: Р(А)=m/n , где:

• все элементарные исходы равновозможны, т.е. ни один из них не является более возможным, чем другой;
• m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А;
• n – общее число всех возможных элементарных исходов испытания.

Для подсчета n и m часто применяются понятия и формулы комбинаторики :

• n-факториал – это произведение всех натуральных чисел от единицы до n включительно: n! = 1*2*3*…*(n-1)*n . Например: 4!=1*2*3*4=24, 1!=1, 0!=1
• перестановка из n элементов – комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Число всех возможных перестановок вычисляют по формуле: P n = n!
• перестановка с повторениями – пусть даны n 1 элементов первого типа, n 2 - второго типа, ..., n k - k-го типа, всего n элементов. Способы разместить их по различным местам называются перестановками с повторениями. Число всех перестановок с повторениями вычисляют по формуле: Pn(n 1 ,n 2 ,…,n k) = n! / n 1 !n 2 !...n k !
• размещения – комбинации из n элементов по m (mА n m = n!/(n-m)! , где
  n – число всех имеющихся элементов, m- число элементов в каждой комбинации.
  При n=m размещение становится перестановкой. Если не принимать во внимание порядок элементов в размещении, а учитывать только его состав, то получается сочетание.
• сочетания – все возможные комбинации из n элементов по m (mС n m = n! / m!(n-m)! = А n m / P m

Геометрический способ подсчета вероятности применяется, когда элементарные исходы эксперимента могут быть интерпретированы как точки отрезка, фигуры или тела.

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством: Р = Длина l / Длина L .

Вероятность попадания точки в плоскую фигуру g, составляющую часть плоской фигуры G: Р = Площадь g/Площадь G .

Вероятность попадания точки в пространственную фигуру υ, которая составляет часть фигуры V: Р = Объем υ /Объем V .

Примеры решения задач по теме «Элементы комбинаторики. События и их вероятности»

Задача 1

В 11-м классе 30 человек. 18 человек изучают английский язык, 16 – немецкий, 9 – оба языка. Сколько человек изучают а) только английский язык, б) только немецкий язык, в) не изучают ни одного языка?

Решение.
а) поскольку 18 человек изучают английский, из них 9 изучают и английский и немецкий, то 18–9=9 человек изучают только английский язык;
б) поскольку 16 человек изучают немецкий, из них 9 изучают и немецкий и английский, то 16–9=7 человек изучают только немецкий язык;
в) поскольку в классе 30 человек, из них 9 изучают только английский, 7 – только немецкий, 9 – оба языка, то 30 – (9+7+9) = 5 человек не изучают ни одного языка.

Задача 2

Сколькими способами можно переставить буквы в слове «фикус»?

Решение. В данном случае необходимо найти число перестановок из 5 букв, а поскольку в слове «фикус» все буквы разные, то число перестановок определяем по формуле: P 5 =5!=1*2*3*4*5=120.

Задача 3

Сколькими способами можно переставить буквы в слове «ответ»?

Решение. Необходимо найти число перестановок из 5 букв, но в отличие от задачи 2, здесь имеются повторяющиеся буквы – буква «т» повторяется дважды. Поэтому число способов определим по формуле перестановок с повторениями: P 5 (1, 2, 1, 1) = 5! / 2! = 60.

Задача 4

В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете учащемуся не достанется вопрос по производной.

Решение. В данном случае число благоприятных исходов равно (25-10)=15, общее число событий – 25.
Вероятность события А = {учащемуся не достанется вопрос по производной} находим как отношение: Р(А)=15/25=0,6.

Задача 5

В ящике имеется 15 деталей, среди которых 8 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

Решение. Событие А = {извлечены три окрашенных детали}.

Общее число всех возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 3 детали из 15:
n = С 15 3 =15! / 3!(15-3)!=15! / (3!*12!) = 13*7*5=455.
Число благоприятных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 3 детали из 8 окрашенных:
m = С 8 3 =8! / 3!(8-3)!= 8! / (3!*5!)=7*8=56.

Вероятность события А находим как отношение: Р(А) = m/n= 56/455≈0,12

Задача 6

Среди 17 студентов группы, из которых 8 – девушки, разыгрывается 7 билетов в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки и 3 юношей?

Решение. Событие А = {среди обладателей билетов ровно 4 девушки} .

Общее число возможных элементарных исходов розыгрыша равно числу способов, которыми можно выбрать 7 человек из всех студентов группы, т. е. из 17: n = С 17 7 =17! / 7!(17-7)!= 17! / (7!*10!)=19448.

Число благоприятных исходов (среди 7 обладателей билетов 4 девушки и 3 юношей) найдем, учитывая, что 4-х девушек их 8 можно выбрать С 8 4 способами, а 3-х юношей из 9 можно выбрать С 9 3 способами. Следовательно, m = С 8 4 *С 9 3 = 8!9! / 4!(8-4)!3!(9-3)! = 5880.

Вероятность события А находим как отношение: Р(А) = m/n= 5880/19448≈0,3

Вряд ли многие люди задумываются, можно ли просчитать события, которые в той или иной мере случайны. Выражаясь простыми словами, реально ли узнать, какая сторона кубика в выпадет в следующий раз. Именно этим вопросом задались два великих ученых, положившие начало такой науке, как теория вероятности, вероятность события в которой изучается достаточно обширно.

Зарождение

Если попытаться дать определение такому понятию, как теория вероятности, то получится следующее: это один из разделов математики, который занимается изучением постоянства случайных событий. Ясное дело, данное понятие толком не раскрывает всю суть, поэтому необходимо рассмотреть ее более детально.

Хотелось бы начать с создателей теории. Как было выше упомянуто, их было двое, это и Именно они одни из первых попытались с использованием формул и математических вычислений просчитать исход того или иного события. В целом же зачатки этой науки проявлялись еще в средневековье. В то время разные мыслители и ученые пытались проанализировать азартные игры, такие как рулетка, кости и так далее, тем самым установить закономерность и процентное соотношение выпадения того или иного числа. Фундамент же был заложен в семнадцатом столетии именно вышеупомянутыми учеными.

Поначалу их труды нельзя было отнести к великим достижениям в этой области, ведь все, что они сделали, это были попросту эмпирические факты, а опыты ставились наглядно, без использования формул. Со временем получилось добиться больших результатов, которые появились вследствие наблюдения за бросанием костей. Именно этот инструмент помог вывести первые внятные формулы.

Единомышленники

Нельзя не упомянуть о таком человеке, как Христиан Гюйгенс, в процессе изучения темы, носящей название "теория вероятности" (вероятность события освещается именно в этой науке). Данная персона очень интересна. Он, так же как и представленные выше ученые, пытался в виде математических формул вывести закономерность случайных событий. Примечательно, что делал он это не совместно с Паскалем и Ферма, то есть все его труды никак не пересекались с этими умами. Гюйгенс вывел

Интересен тот факт, что его работа вышла задолго до результатов трудов первооткрывателей, а точнее, на двадцать лет раньше. Среди обозначенных понятий известнее всего стали:

• понятие вероятности как величины шанса;
• математическое ожидание для дискретных случаев;
• теоремы умножения и сложения вероятностей.

Также нельзя не вспомнить который тоже внес весомый вклад в изучении проблемы. Проводя свои, ни от кого не зависящие испытания, он сумел представить доказательство закона больших чисел. В свою очередь, ученые Пуассон и Лаплас, которые работали в начале девятнадцатого столетия, смогли доказать изначальные теоремы. Именно с этого момента для анализа ошибок в ходе наблюдений начали использовать теорию вероятностей. Стороной обойти данную науку не смогли и русские ученые, а точнее Марков, Чебышев и Дяпунов. Они, исходя из проделанной работы великих гениев, закрепили данный предмет в качестве раздела математики. Трудились эти деятели уже в конце девятнадцатого столетия, и благодаря их вкладу, были доказаны такие явления, как:

• закон больших чисел;
• теория цепей Маркова;
• центральная предельная теорема.

Итак, с историей зарождения науки и с основными персонами, повлиявшими на нее, все более или менее понятно. Сейчас же пришло время конкретизировать все факты.

Основные понятия

Перед тем как касаться законов и теорем, стоит изучить основные понятия теории вероятностей. Событие в ней занимает главенствующую роль. Данная тема довольно объемная, но без нее не удастся разобраться во всем остальном.

Событие в теории вероятности - этолюбая совокупность исходов проведенного опыта. Понятий данного явления существует не так мало. Так, ученый Лотман, работающий в этой области, высказался, что в данном случае речь идет о том, что «произошло, хотя могло и не произойти».

Случайные события (теория вероятности уделяет им особое внимание) - это понятие, которое подразумевает абсолютно любое явление, имеющее возможность произойти. Или же, наоборот, этот сценарий может не случиться при выполнении множества условий. Также стоит знать, что захватывают весь объем произошедших явлений именно случайные события. Теория вероятности указывает на то, что все условия могут повторяться постоянно. Именно их проведение получило название "опыт" или же "испытание".

Достоверное событие - это то явление, которое в данном испытании на сто процентов произойдет. Соответственно, невозможное событие - это то, которое не случится.

Совмещение пары действий (условно случай A и случай B) есть явление, которое происходит одновременно. Они обозначаются как AB.

Сумма пар событий А и В - это С, другими словами, если хотя бы одно из них произойдет (А или В), то получится С. Формула описываемого явления записывается так: С = А + В.

Несовместные события в теории вероятности подразумевают, что два случая взаимно исключают друг друга. Одновременно они ни в коем случае не могут произойти. Совместные события в теории вероятности - это их антипод. Здесь подразумевается, что если произошло А, то оно никак не препятствует В.

Противоположные события (теория вероятности рассматривает их очень подробно) просты для понимания. Лучше всего разобраться с ними в сравнении. Они почти такие же, как и несовместные события в теории вероятности. Но их отличие заключается в том, что одно из множества явлений в любом случае должно произойти.

Равновозможные события - это те действия, возможность повтора которых равна. Чтобы было понятней, можно представить бросание монеты: выпадение одной из ее сторон равновероятно выпадению другой.

Благоприятствующее событие легче рассмотреть на примере. Допустим, есть эпизод В и эпизод А. Первое - это бросок игрального кубика с появлением нечетного числа, а второе - появление числа пять на кубике. Тогда получается, что А благоприятствует В.

Независимые события в теории вероятности проецируются только на два и больше случаев и подразумевают независимость какого-либо действия от другого. Например, А - выпадение решки при бросании монеты, а В - доставание валета из колоды. Они и есть независимые события в теории вероятности. С этим моментом стало понятнее.

Зависимые события в теории вероятности также допустимы лишь для их множества. Они подразумевают зависимость одного от другого, то есть явление В может произойти только в том случае, если А уже произошло или же, наоборот, не произошло, когда это - главное условие для В.

Исход случайного эксперимента, состоящего из одного компонента, - это элементарные события. Теория вероятности поясняет, что это такое явление, которое совершилось лишь единожды.

Основные формулы

Итак, выше были рассмотрены понятия "событие", "теория вероятности", определение основным терминам этой науки также было дано. Сейчас же пришло время ознакомиться непосредственно с важными формулами. Эти выражения математически подтверждают все главные понятия в таком непростом предмете, как теория вероятности. Вероятность события и здесь играет огромную роль.

Начать лучше с основных И перед тем как приступить к ним, стоит рассмотреть, что это такое.

Комбинаторика - это в первую очередь раздел математики, он занимается изучением огромного количества целых чисел, а также различных перестановок как самих чисел, так и их элементов, различных данных и т. п., ведущих к появлению ряда комбинаций. Помимо теории вероятности, эта отрасль важна для статистики, компьютерной науки и криптографии.

Итак, теперь можно переходить к представлению самих формул и их определению.

Первой из них будет выражение для числа перестановок, выглядит оно следующим образом:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Применяется уравнение только в том случае, если элементы различаются лишь порядком расположения.

Теперь будет рассмотрена формула размещения, выглядит она так:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Это выражение применимо уже не только лишь к порядку размещения элемента, но и к его составу.

Третье уравнение из комбинаторики, и оно же последнее, называется формулой для числа сочетаний:

C_n^m = n ! : ((n - m))! : m !

Сочетанием называются выборки, которые не упорядочены, соответственно, к ним и применяется данное правило.

С формулами комбинаторики получилось разобраться без труда, теперь можно перейти к классическому определению вероятностей. Выглядит это выражение следующим образом:

В данной формуле m - это число условий, благоприятствующих событию A, а n - число абсолютно всех равновозможных и элементарных исходов.

Существует большое количество выражений, в статье не будут рассмотрены все, но затронуты будут самые важные из них такие, как, например, вероятность суммы событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) - эта теорема для сложения только несовместных событий;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - а эта для сложения только совместимых.

Вероятность произведения событий:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - эта теорема для независимых событий;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - а эта для зависимых.

Закончит список формула событий. Теория вероятностей рассказывает нам о теоремеБайеса, которая выглядит так:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,...,n

В данной формуле H 1 , H 2 , …, H n - это полная группа гипотез.

Примеры

Если тщательно изучить любой раздел математики, в нем не обходится без упражнений и образцов решений. Так и теория вероятности: события, примеры здесь являются неотъемлемым компонентом, подтверждающим научные выкладки.

Формула для числа перестановок

Допустим, в карточной колоде есть тридцать карт, начиная с номинала один. Далее вопрос. Сколько есть способов сложить колоду так, чтобы карты с номиналом один и два не были расположены рядом?

Задача поставлена, теперь давайте перейдем к ее решению. Для начала нужно определить число перестановок из тридцати элементов, для этого берем представленную выше формулу, получается P_30 = 30!.

Исходя из этого правила, мы узнаем, сколько есть вариантов сложить колоду по-разному, но нам необходимо вычесть из них те, в которых первая и вторая карта будут рядом. Для этого начнем с варианта, когда первая находится над второй. Получается, что первая карта может занять двадцать девять мест - с первого по двадцать девятое, а вторая карта со второго по тридцатое, получается всего двадцать девять мест для пары карт. В свою очередь, остальные могут принимать двадцать восемь мест, причем в произвольном порядке. То есть для перестановки двадцати восьми карт есть двадцать восемь вариантов P_28 = 28!

В итоге получается, что если рассматривать решение, когда первая карта находится над второй, лишних возможностей получится 29 ⋅ 28! = 29!

Используя этот же метод, нужно вычислить число избыточных вариантов для того случая, когда первая карта находится под второй. Получается также 29 ⋅ 28! = 29!

Из этого следует, что лишних вариантов 2 ⋅ 29!, в то время как необходимых способов сбора колоды 30! - 2 ⋅ 29!. Остается только лишь посчитать.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Теперь нужно перемножать между собой все числа от одного до двадцати девяти, после чего в конце умножить все на 28. Ответ получается 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Решение примера. Формула для числа размещения

В данной задаче необходимо выяснить, сколько есть способов, чтобы поставить пятнадцать томов на одной полке, но при условии, что всего томов тридцать.

В этой задаче решение немного проще, чем в предыдущей. Используя уже известную формулу, необходимо вычислить суммарное число расположений из тридцати томов по пятнадцать.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Ответ, соответственно, будет равен 202 843 204 931 727 360 000.

Теперь возьмем задачу чуть сложнее. Необходимо узнать, сколько есть способов расставить тридцать книг на двух книжных полках, при условии, что на одной полке могут находиться лишь пятнадцать томов.

Перед началом решения хотелось бы уточнить, что некоторые задачи решаются несколькими путями, так и в этой есть два способа, но в обоих применена одна и та же формула.

В этой задаче можно взять ответ из предыдущей, ведь там мы вычислили, сколько раз можно заполнить полку на пятнадцать книг по-разному. Получилось A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Вторую же полку рассчитаем по формуле перестановки, ведь в нее помещается пятнадцать книг, в то время как всего остается пятнадцать. Используем формулу P_15 = 15!.

Получается, что в сумме будет A_30^15 ⋅ P_15 способов, но, помимо этого, произведение всех чисел от тридцати до шестнадцати надо будет умножить на произведение чисел от одного до пятнадцати, в итоге получится произведение всех чисел от одного до тридцати, то есть ответ равен 30!

Но эту задачу можно решить и по-иному - проще. Для этого можно представить, что есть одна полка на тридцать книг. Все они расставлены на этой плоскости, но так как условие требует, чтобы полок было две, то мы одну длинную пилим пополам, получается две по пятнадцать. Из этого получается что вариантов расстановки может быть P_30 = 30!.

Решение примера. Формула для числа сочетания

Сейчас будет рассмотрен вариант третьей задачи из комбинаторики. Необходимо узнать, сколько способов есть, чтобы расставить пятнадцать книг при условии, что выбирать необходимо из тридцати абсолютно одинаковых.

Для решения будет, конечно же, применена формула для числа сочетаний. Из условия становится понятным, что порядок одинаковых пятнадцати книг не важен. Поэтому изначально нужно выяснить общее число сочетаний из тридцати книг по пятнадцать.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Вот и все. Используя данную формулу, в кратчайшее время удалось решить такую задачу, ответ, соответственно, равен 155 117 520.

Решение примера. Классическое определение вероятности

С помощью формулы, указанной выше, можно найти ответ в несложной задаче. Но это поможет наглядно увидеть и проследить ход действий.

В задаче дано, что в урне есть десять абсолютно одинаковых шариков. Из них четыре желтых и шесть синих. Из урны берется один шарик. Необходимо узнать вероятность доставания синего.

Для решения задачи необходимо обозначить доставание синего шарика событием А. Данный опыт может иметь десять исходов, которые, в свою очередь, элементарные и равновозможные. В то же время из десяти шесть являются благоприятствующими событию А. Решаем по формуле:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Применив эту формулу, мы узнали, что возможность доставания синего шарика равна 0,6.

Решение примера. Вероятность суммы событий

Сейчас будет представлен вариант, который решается с использованием формулы вероятности суммы событий. Итак, в условии дано, что есть два ящика, в первом находится один серый и пять белых шариков, а во втором - восемь серых и четыре белых шара. В итоге из первого и второго короба взяли по одному из них. Необходимо узнать, каков шанс того, что доставаемые шарики будут серого и белого цвета.

Чтобы решить данную задачу, необходимо обозначить события.

• Итак, А - взяли серый шарик из первого ящика: P(A) = 1/6.
• А’ - взяли белый шарик также из первого ящика: P(A") = 5/6.
• В - извлекли серый шарик уже из второго короба: P(B) = 2/3.
• В’ - взяли серый шарик из второго ящика: P(B") = 1/3.

По условию задачи необходимо, чтобы случилось одно из явлений: АВ’ или же А’В. Используя формулу, получаем: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Сейчас была использована формула по умножению вероятности. Далее, чтобы узнать ответ, необходимо применить уравнение их сложения:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Вот так, используя формулу, можно решать подобные задачи.

Итог

В статье была представлена информация по теме "Теория вероятности", вероятность события в которой играет важнейшую роль. Конечно же, не все было учтено, но, исходя из представленного текста, можно теоретически ознакомиться с данным разделом математики. Рассматриваемая наука может пригодиться не только в профессиональном деле, но и в повседневной жизни. С ее помощью можно просчитать любую возможность какого-либо события.

В тексте были затронуты также знаменательные даты в истории становления теории вероятности как науки, и фамилии людей, чьи труды были в нее вложены. Вот так человеческое любопытство привело к тому, что люди научились просчитывать даже случайные события. Когда-то они просто заинтересовались этим, а сегодня об этом уже знают все. И никто не скажет, что ждет нас в будущем, какие еще гениальные открытия, связанные с рассматриваемой теорией, будут совершены. Но одно можно сказать точно - исследования на месте не стоят!

1. Случайные события

Теория вероятностей - это раздел математики изучающий закономерности массовых случайных событий.

Случайным называется событие, наступление которого нельзя гарантировать. Случайность того или иного события определяется множеством причин, которые существуют объективно, но учесть их все, а также степень их влияния на изучаемое событие, невозможно. К таким случайным событиям относятся: выпадание того или иного числа при бросании игральной кости, выигрыш в лотереи, коли­чество больных, записавшихся на прием к врачу и т.п.

И хотя в каждом конкретном случае трудно предсказать исход испытания, при достаточно большом числе наблюдений можно установить наличие некоторой закономерности. Подбрасывая монету, можно заметить, что число выпадания орла и решки примерно одинаково, а при бросании игральной кости различные грани также появляются, примерно одинаково. Это говорит о том, что случайным явлениям присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний. Правильность этого подтверждает закон больших чисел, который лежит в основе теории вероятностей.

Рассмотрим основные термины и понятия теории вероятностей.

Испытанием называется совокупность условий, при которых может произойти данное случайное событие.

Событие - это факт, который при осуществлении определенных условий может произойти или нет. События обозначают большими буквами латинского алфавита А, В, С...

Например, событие А - рождение мальчика, событие В – выигрыш в лотерее, событие С - выпадение цифры 4 при бросании игральной кости.

События бывают достоверные, невозможные и случайные.

Достоверное событие - это событие, которое в результате испытания непременно должно произойти.

Например, если на игральной кости на всех шести гранях. нанести цифру 1, тогда выпадение цифры 1, при бросании кости, есть событие достоверное.

Невозможное событие - это событие, которое в результате испытания не может произойти.

Например, в ранее рассмотренном примере - это выпадение любой цифры, кроме 1.

Случайное событие - это событие, которое при испытаниях может произойти или не произойти. Те или иные события реализуются с различной возможностью.

Например, завтра днем ожидается дождь. В этом примере наступление дня является испытанием, а выпадение дождя - случайное событие.

События называются несовместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого.

Например, при бросании монеты выпадение одновременно орла и решки есть события несовместные.

События называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого.

Например, при игре в карты появление валета и масти пик - события совместные.

События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них происходит чаше, чем другое!

Например, выпадение любой грани игрального кубика есть равновозможные события.

События образуют полную группу событий, если в результате испытания обязательно произойдет хотя бы одно из них и любые два из них несовместны.

Например, при 10 выстрелах в мишень возможно от 0 до 10 попаданий. При бросании игрального кубика может выпасть цифра от 1 до 6. Эти события образуют полную группу.

События, входящие в полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, называются исходами, или элементарными событиями. Согласно определению достоверного события, можно считать, что событие, состоящее в появлении одного, неважно какого, из событий полной группы, есть событие достоверное.

Например, при бросании одного игрального кубика выпадает число меньше семи. Это пример достоверного события.

Частным случаем событий, образующих полную группу, являются противоположные события.

Два несовместных события А и (читается «не А») называются противоположными, если в результате испытания одно из них должно обязательно произойти.

Например, если стипендия начисляется только при получении на экзамене хороших и отличных оценок, то события «стипендия» и «неудовлетворительная или удовлетворительная оценка» - противоположные.

Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В.

Например, при бросании игрального кубика появлению нечетного числа благоприятствуют события, связанные с выпадением чисел 1,3 и 5.

2. Операции над событиями

Операции над событиями аналогичны операциям над множествами.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.

Сумма событий может быть обозначена знаками «+», «È», «или».

На рисунке 1 представлена геометрическая интерпретация с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Сумме событий А + В будет соответствовать вся заштрихованная область.

рис.1

Область пересечения событий А и В соответствует совместным событиям, которые могут произойти одновременно. Аналогично для событий А, В и С имеются совместные события А и В; А и С; В и С; А и В и С, которые могут про изойти одновременно.

Например, в урне находятся белые, красные и синие шары. Возможны следующие события: А - вынут белый шар; В - вынут красный шар; С - вынут синий шар. Событие В + С означает, что произошло событие - вынут цветной шар или вынут не белый шар.

Произведением нескольких событий называется событие которое состоит в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.

Произведение событий может быть обозначено знаками «х», «∩», «и».

Геометрическая интерпретация произведения событий представлена на рис. 2.

рис.2

Произведением событий А и В будет заштрихованная область пересечения площадей А и В. А для трех событий А и В и С - общая площадь, одновременно входящая во все три события.

Например, пусть из колоды карт наугад извлекается карта. Событие А - вынута карта пиковой масти; В - вынут валет. Тогда событие А×В означает событие - вынут валет пик.

Разностью двух событий А-В называется событие, состоящее из исходов, входящих в А, но не входящих в В.

На рис. 3 представлена иллюстрация разности событий с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

рис.3

Разностью двух событий А-В является заштрихованная область А без той части, которая входит в событие В. Разность между произведением событий А и В и событием С будет совместная площадь события А и события В без совместной с нею площадью события С.

Например, пусть при бросании игрального кубика событие А - появление четных чисел (2,4,6), а событие В - чисел-кратных 3, т.е. (3, 6). Тогда событие А-В появление чисел (2,4).

3. Определение вероятности события

Случайные события реализуются с различной возможностью. Одни происходят чаще, другие - реже. Для количественной оценки возможностей реализации события вводится понятие вероятности события.

Вероятность события - это число, характеризующее степень возможности появления события при многократном повторении испытаний.

Вероятность обозначается буквой Р (от англ. probability - вероятность). Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия.

Классическое определение вероятности заключается в следующем. Если известны все возможные исходы испытания и нет оснований считать, что одно случайное событие появлялось бы чаще других, т.е. события равновозможны и несовместны, то имеется возможность аналитического определения вероятности события.

Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа благоприятствующих исходов т к общему числу равновозможных несовместных исходов п:

Свойства вероятности:

1. Вероятность случайного события А находится между 0 и 1.

2. Вероятность достоверного события равна 1.

.

3. Вероятность невозможного события равна 0.

.

Случайное событие –

Два события несовместны,

Теория вероятностей

Алгебра случайных событий, диаграммы Вьенна-Эйлера.

Сумма событий А и В называется такое событие, которое происходит, когда происходит либо А, либо В, либо оба события.

Произведением А и В называется событие, которое происходит, если в опыте происходят оба события.

Событием Ā, противоположное событию А называется событие, которое происходит всякий раз, когда не наступает событие А.

A\B (дополнение А до В) – происходит А, но не происходит В

Классическое определение вероятности. Комбинаторика.

– классическое определение вероятности.

m – общее число исходов

n – число исходов, благоприятствующих наступлению события А..

Комбинаторика – раздел математики, изучающий расположение объектов в соответствии со специальными правилами и подсчитывает количество способов таких расположений. Комбинаторика возникла в 18 веке. Рассматривается как раздел теории множеств.

Аксиоматическое построение теории вероятностей.

Аксиома 1. «аксиома неотрицательности» P(A)≥0

Аксиома 2. «аксиома нормированности» P(Ω)=1

Аксиома 3. «аксиома аддитивности» Если события А и В несовместны (АВ=Ø), то P(A+B)=P(A)+P(B)

Теорема о вероятности суммы событий.

Для любых событий Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) (док-во в лекции)

Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теоремы о вероятности произведения событий.

Р(А|В) – вероятность события А, если событие В уже произошло – условная вероятность.

Событие А называют независимым , от события В, если вероятность события А не меняется в зависимости от того, происходит или нет событие В.

Теорема умножения вероятностей: Р(АВ) = Р(А|В)·Р(В) = Р(В|А)·Р(А)

Теорема умножения вероятностей независимых событий: Р(АВ) = Р(А)·Р(В)

По определению условной вероятности,

Формула полной вероятности.

Есть события Н 1 , Н 2 ,….,Н n попарно несовместные и образуют полную группу. Такие события называют гипотезами . Пусть есть некоторое событие А. А=АН 1 +АН 2 +…+АН n (слагаемые этой суммы попарно несовместны).

Формула Байеса.

Н 1 , Н 2 ,….,Н n A

Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.

Пусть проводится конечное число n последовательных испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может либо наступить «успех», либо не наступить «неудача», причем эти испытания удовлетворяют следующим условиям:

· Каждое испытание случайно относительно события А.т.е. до проведения испытания нельзя сказать, появится А или нет;

· Испытания проводятся в одинаковых с вероятностной точки зрения условиях, т.е. вероятность успеха в каждом отдельно взятом испытании равна р и не меняется от испытания к испытанию;

· Испытания независимы, т.е. исход любого из них никак не влияет ни исходы других испытаний.

Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли или биноминальной схемой, а сами испытания – испытаниями Бернулли.

Для расчета вероятности Р n (к) того, что в серии из n испытаний Бернулли окажется ровно k успешных, применяется формула Бернулли: (k = 0,1,2,…n).

10. Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина, способы ее задания: ряд распределения.

Случайной величиной называется величина, которая в каждом испытании (при каждом наблюдении) принимает одно из множества своих возможных значений, заранее не известно, какое.

Дискретная с.в. – с.в., множество возможных значений которой конечно или счетно.

Ряд распределения с.в. (ряд распределения вероятности). График ряда распределения задается многоугольником распределения – ломанная, которая соединяет точки с координатами (x i ,p i)

Закон распределения с.в.: p k =P({X=x k })

Случайные события, их классификация. Понятие вероятности.

Случайное событие – событие, которое в условиях опыта оно может произойти, а может и не произойти. Причем заранее неизвестно, произойдет оно или нет.

Два события несовместны, если появление одного из них исключает появление другого в том же опыте.

Теория вероятностей изучает закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Основные понятия теории вероятностей были заложены в переписке Паскалем и Ферма. Эти понятия зародились в результате попыток математически описать азартные игры.