Построение вектора на плоскости. Векторы на плоскости и в пространстве

Первый параграф данной главы можно рассматривать как продолжение школьного курса геометрии. Напомним основные определения, связанные с понятием вектора.

Пара точек называется упорядоченной , если про них можно сказать, какая из них первая, какая вторая. Упорядоченная пара точек задает направленный отрезок .

Определение 1. Направленный отрезок будем называть вектором . Первая точка в упорядоченной паре называется началом вектора, а вторая – его концом .

Для обозначения вектора используют обозначения: , гдеА – точка приложения вектора (начало вектора), точка В – конец вектора; или ; илиа .

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором и обозначается 0 .

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной (а также модулем или абсолютной величиной ). Длина вектора обозначается ||, или |а |, или |

|.

Определение 2. Векторы называются коллинеарными , если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых, т.е. существует прямая, которой они параллельны. Векторы называются компланарными , если существует плоскость, которой они параллельны.

Определение 3. Два вектора называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины.

На рисунке 1 показаны векторы, для которых нарушается одно из условий равенства: векторы неколлинеарны (рис.1 а ), векторы направлены в разные стороны (рис. 1 б ), векторы имеют разные длины (рис. 1 в ).

Отметим следующие свойства отношения равенства между векторами:

1.

(рефлексивность).

2. Если

, то

(симметричность).

3. Если

и

, то

(транзитивность).

4. Если

, то

.

5. Для любых точек A , B , C существует единственная точка D такая, что

.

Первые три свойства можно заменить следующей формулировкой: отношение равенства является отношением эквивалентности.

Заметим, что понятие равенства векторов существенно отличается от понятия равенства, например, чисел. Каждое число равно только самому себе, иначе говоря, два равных числа при всех обстоятельствах могут рассматриваться как одно и то же число. С векторами дело обстоит иначе: в силу определения существуют различные, но равные между собой векторы. Мы можем от любой точки отложить вектор, равный данному.

Возьмем некоторый вектор

и рассмотрим множество всех векторов, равных вектору

. Это множество называетсяклассом эквивалентности , порожденным вектором

. Вектор

является представителем класса эквивалентности.

Определение 4.Свободным вектором а будем называть множество всех векторов, равных вектору а , т.е. весь класс эквивалентности.

Из школьного курса геометрии известно, что вектор можно рассматривать как параллельный перенос. Это определение также можно считать определением свободного вектора.

Для свободного вектора, как и для чисел, равенство означает совпадение: два вектора равны в том и только в том случае, когда это один и тот же вектор. В дальнейшем под понятием вектор будем понимать свободный вектор.

Рассмотрим линейные операции над векторами. Линейными операциями называют сложение векторов и умножение вектора на число.

О

a B

C

b

Свойства операции сложения векторов:

Для любых векторов а и b сумма a + b также вектор (замкнутость).

Для любых векторов а и b выполняется a + b = b + a (коммутативность).

Для любых векторов а , b и с выполняется a + (b + с ) = (a + b ) + с (ассоциативность).

Во множестве векторов есть нулевой вектор 0 , обладающий свойством: 0 + а = а для любого вектора а . С учетом коммутативности можно записать 0 + а = 0 + а = а (существование нулевого вектора).

Для любого вектора а найдется вектор –а , такой что

а + (–а ) = (–а ) + а = 0

(существование противоположного вектора).

Определение 6.Произведением вектора а на действительное число α называется любой вектор b , удовлетворяющий условиям:

а) |b | = |α| ∙ |a |;

б) вектор b коллинеарен вектору а ;

в) векторы а и b направлены одинаково, если α > 0 и противоположно, если α < 0.

Произведение вектора а на число α обозначается αа .

Из курса линейной алгебры известны простейшие свойства векторных пространств, которые, естественно, выполняются для векторов на плоскости и в пространстве. Например, доказывалась единственность нулевого элемента, единственность противоположного элемента, равенство –а = (–1)а и другие.

Свойства умножения вектора на число:

1. Для любых чисел α и β и любого вектора а верно равенство

(α β) а = α (β а ).

2. Умножение вектора на единицу не меняет этого вектора 1 ∙ а = а .

3. Для любого вектора а выполняется 0 ∙ а = 0 .

4. Для любого числа α выполняется α ∙ 0 = 0 .

Свойства, связывающие операции сложения и умножения на число:

1. Для любых чисел α, β и любого вектора а выполняется

(α + β) а = α а + β а

(дистрибутивность по сложению чисел).

2. Для любых векторов а и b и любого числа α выполняется

α (а + b ) = α а + α b

(дистрибутивность по сложению векторов).

Определение 7. Разностью двух векторов а и b называется сумма вектора а и вектора, противоположного b , т.е. а – b = a + (–b ).

Определяя вычитание векторов через сложение, мы не будем рассматривать вычитание как отдельную операцию. Также нет смысла рассматривать операцию деления вектора на число, которую можно определить как умножение вектора на число, обратное данному.

Тема 8. «Векторы на плоскости и в пространстве» Основные понятия: 1.Определение вектора, основные определения и линейные операции над векторами 2.Скалярное произведение векторов 3.Векторное произведение векторов 4.Смешанное произведение векторов 5.Линейная зависимость и независимость векторов

1.Определение вектора, основные определения и линейные операции над векторами Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B (который можно перемещать параллельно самому себе). Обозначения Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка AB, изображающего вектор. Обозначения

Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Произведением вектора на число λ называется вектор, имеющий длину, направление которого совпадает с направлением вектора, если λ>0, и противоположно ему, если λ 0, и противоположно ему, если λ"> 0, и противоположно ему, если λ"> 0, и противоположно ему, если λ" title="Произведением вектора на число λ называется вектор, имеющий длину, направление которого совпадает с направлением вектора, если λ>0, и противоположно ему, если λ"> title="Произведением вектора на число λ называется вектор, имеющий длину, направление которого совпадает с направлением вектора, если λ>0, и противоположно ему, если λ">

Рассмотрим ПДСК в пространстве. Радиусом-вектором т.М называется вектор ДПКоординатами X,Y,Z вектора r называются его проекции на координатные оси i,j,k – единичные векторы координатных осей (орты). Если А,В,С – проекции т. М на координатные оси, то Последнее является разложением вектора r по базисным векторам (ортам).

2. Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число Замечание. Если два вектора являются перпендикулярными, то их скалярное произведение равно нулю, и наоборот. Теорема. Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле

Следствие 1. Если хотя бы один из векторов системы нулевой, то и система линейно зависима. Следствие 2. Если часть векторов системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима. Теорема. Чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов был линейной комбинацией остальных.

Теорема. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Теорема. Любой вектор в пространстве можно единственным образом разложить по трем некомпланарным векторам, т. е. Следствие. Всякие четыре вектора трехмерного пространства линейно зависимы.

Существует две категории величин: скалярные и векторные величины. Скалярные величины – это величины, которые определяются только числовым значением (например, масса, температура, объем); векторные величины – это величины, для определения которых необходимо знать не только числовое значение, но и направление (например, сила, ускорение, скорость).

Векторную величину можно задать в виде направленного отрезка – вектора. Вектор может быть обозначен прописной латинской буквой и т.д., или двумя заглавными латинскими буквами и т.д.

Нулевой вектор – это вектор, начало и конец которого совпадают.

Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Длина вектора – это длина отрезка его содержащая.

Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой), называются коллинеарными.

Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление (сонаправленные векторы), или противоположенное направление (противоположено направленные векторы).

Два вектора равны, если они сонапрвлены и имеют одну и ту же длину.

Линейные операции над векторами

1. Сумма векторов

Определение. Суммой векторов называется такой вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (правило треугольника).

Из определения следует, что сумма двух противоположных векторов равна нулевому вектору:

Сложение векторов подчиняется следующим законам:

а) переместительному закону

б) сочетательному закону

Операция сложения может быть распространена на любое число слагаемых векторов.

Для того чтобы сложить n векторов, надо к концу первого вектора приложить начало второго, затем к концу второго вектора приложить начало третьего и т.д. и, наконец, приложить к концу предпоследнего вектора начало последнего; тогда замыкающий вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, и будет являться вектором-суммой данных векторов.

При сложении векторов можно любым образом переставлять и группировать слагаемые.

2. Вычитание векторов

Определение. Разностью векторов называется такой вектор , для которого

3. Умножение вектора на число (скаляр)

Определение. Произведением вектора на число (скаляр) называется вектор, длина которого равна , сонаправленный с вектором , если >0, и противоположено направленный, если <0.

Умножение вектора на число подчиняется законам:

а) сочетательному закону

;

б) распределительному закону

4. Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением вектора на вектор называется число, равное произведению их длин (модулей) на косинус угла между ними:

.

Скалярное произведение можно записать в виде

.

Утверждение. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, если векторы перпендикулярны (ортогональны), и наоборот.

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) - переместительный закон

2) - распределительный закон

3) называется скалярным квадратом вектора , обозначается

4) - числовой множитель можно вынести за знак скалярного произведения

5. Векторное произведение векторов.

Определение. Векторным произведением векторов называется вектор , удовлетворяющий следующим условием:

1) , где - угол между векторами ;

2) , то есть вектор перпендикуляр плоскости, «натянутой» на векторы

3) векторы и (после их приведения к общему началу) ориентированы по отношению друг к другу, соответственно, как орты , т.е. образуют так называемую «правую» тройку векторов.

Векторное произведение обозначается так: или .

Свойства векторного произведения

1) =-, т.е. векторное произведение не обладает переместительным свойством, то есть при перестановке сомножителей векторное произведение меняет направление;

2) , если или , либо ǁ;

3) - распределительный закон;

4) - сочетательный закон по отношению к скалярному множителю;

5) - линейность по первой компоненте. Аналогично, справедлива линейность и по второй компоненте.

Модуль векторного произведения (длина вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах ).

6. Смешанное произведение

Определение. Смешанным произведением трех векторов иназывается число, равное скалярному произведению вектора на вектор , т.е. · .

Свойства смешанного произведения:

1) смешанное произведение трех векторов равно нулю, если:

а) хотя бы один из перемноженных векторов равен нулю;

б) два из перемноженных векторов коллинеарны;

в) все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны).

2) смешанное произведение не изменится, если в нем поменять местами знаки векторного (×) и скалярного (·) умножения, т.е.

Объем V треугольной пирамиды, построенной на векторах и, вычисляется по формуле

Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве

Две взаимно перпендикулярные оси ОХ, ОY, проходящие через некоторую точку О, образуют прямоугольную систему координат на плоскости. Три взаимно перпендикулярные оси ОХ, ОY, OZ, проходящие через некоторую точку О, образуют систему координат в пространстве.

При этом точка О называется началом координат, прямые ОХ, ОY (ОХ, ОY, OZ в пространственном случае) – осями координат (ось Ох – ось абсцисс, ось ОY – ось ординат, OZ – ось аппликат). Плоскости ХОY, YOZ, ZOX – координатными плоскостями.

Положение любой точки М в пространстве можно определить тремя числами (координатами) следующим образом: из точки М опустим перпендикуляр MD на плоскость XOY, затем из точки D опустим перпендикуляр DN на ось ОХ, DL – на ось OY. Из точки М опустим перпендикуляр КМ на ось OZ. числа х, у, z «измеряющие» соответственно отрезки ON, OL, OK в выбранном масштабе, называются прямоугольными координатами точки М.

Если точка М имеет координаты х, у, z, то это записывается так: М(х, у, z). Вектор , идущий от начала О к некоторой точке М, называется радиус-вектором точки М. Координаты х, у, z точки М соответственно равны координатам вектора.

Каждый вектор равен сумме его вектор-проекций по трем осям координат:

где - вектора-орты (единичные векторы, лежащие на осях в прямоугольной системе координат).

Тройка векторов , по которым осуществлено разложение вектора, называется базисом. Представление вектора в виде суммы компонент называется разложением этого вектора по базису .

Длина вектора определяется следующим образом:

Операции над векторами, заданными в координатной форме

1. Два вектора равны, если их координаты равны.

2. При сложении векторов, заданных в координатной форме, их координаты складываются.

3. При вычитании векторов, заданных в координатной форме, их координаты вычитаются.

4. При умножении вектора на число надо все его координаты умножить на это число.

5. Скалярное произведение векторов , заданных в координатной форме, определяется числом вида

6. Векторное произведение векторов и в координатной форме вычисляется следующим образом:

.

7. Смешанное произведение в координатной форме вычисляется следующим образом:

.